Usando/testando o ChatGPT 5 para resolver uma EDO 'simples'

Prompt: Problema de matemática. Resolva a equação diferencial: (D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t), com x(t) = u(t), y(0)=0, y'(0)=0, onde D é o operador derivada e u(t) a função degrau unitário.

Resposta do ChatGPT 5:

Problema

Resolver a EDO linear: \[ (D^2 + 5D + 6)\,y(t) = (D + 1)\,x(t), \quad x(t)=u(t), \quad y(0)=0,\; y'(0)=0, \] onde \(D=\frac{d}{dt}\) e \(u(t)\) é o degrau unitário.

1) Preparação

Como \(x(t)=u(t)\), então \[ (D+1)x(t)=\frac{d}{dt}u(t)+u(t)=\delta(t)+u(t). \] Com condições iniciais nulas, aplicamos a Transformada de Laplace.

2) Domínio de Laplace

Sejam \(Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}\) e \(X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}\). Como \(X(s)=\frac{1}{s}\), temos: \[ (s^2+5s+6)\,Y(s)=(s+1)\,X(s)=(s+1)\cdot\frac{1}{s} \] \[ \Rightarrow\quad Y(s)=\frac{s+1}{s\,(s^2+5s+6)}=\frac{s+1}{s\,(s+2)(s+3)}. \]

3) Frações Parciais

Escrevendo \[ \frac{s+1}{s(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}, \] obtemos (por comparação de coeficientes) \(A=\tfrac{1}{6}\), \(B=\tfrac{1}{2}\), \(C=-\tfrac{2}{3}\). Logo, \[ Y(s)=\frac{1}{6}\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\frac{1}{s+2}-\frac{2}{3}\frac{1}{s+3}. \]

4) Volta ao Tempo

Aplicando a transformada inversa: \[ y(t)=\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}e^{-2t}-\frac{2}{3}e^{-3t}\right)u(t). \]

5) Verificações Rápidas

• Condição inicial: \(y(0^+)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}=0\).
• O termo \(\delta(t)\) no lado direito pode induzir salto em \(y'(t)\) em \(t=0\); as condições \(y(0)=0\), \(y'(0)=0\) entendem-se em \(0^-\), e o resultado é consistente.

Solução final: \[ \boxed{\,y(t)=\Big(\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}e^{-2t}-\tfrac{2}{3}e^{-3t}\Big)\,u(t)\, }. \]

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Comentário: a solução está correta. Em uma postagem anterior, o Perplexity AI não conseguiu encontrar a solução correta para este problema - ver aqui.