sábado, 17 de junho de 2017

Dica de leitura: Cleópatra - Uma Biografia


A primeira vez que ouvir dizer que "Cleópatra" havia sido uma rainha do Egito Antigo, lembro de ter pensado algo do tipo: "Nome estranho para uma faraó do Egito. Uma mulher faraó?" Sabia que essa história devia ter muitos detalhes interessantes. Somente agora conheço alguns deles.

Cleópatra foi, provavelmente, a mulher mais influente e poderosa do Mundo Antigo (isto é, a região do Mediterrâneo que liga o Norte da África, o sul da Europa e o Oriente próximo). Conseguiu governar o Egito por 22 anos, sendo dúvida alguma uma grande façanha, considerando que teve que lutar astutamente contra membros da própria família e se equilibrar na delicada política interna e externa daquela época. Odiada por muitos romanos, entre eles Cicero, que dependiam do trigo egípcio e de outros recursos, e amada por Marco Antônio (Marcus Antonius) - político e um dos mais importantes generais romanos após a morte Júlio César que também foi influenciado pela jovem Cleópatra.

O livro "Cleópatra - Uma Biografia" de Stacy Madeleine Schiff (26 de Outubro de 1961, escritora estadunidense vencedora do Prêmio Pulitzer de 2000 e que vive em Nova Iorque. Ela é especializada em não ficção e biografias) conta essa fascinante história. Stacy Schiff faz uma detalhada pesquisa para tentar separar as lendas dos fatos e contar uma história muito sedutora. Fica aqui nossa dica de leitura.

terça-feira, 13 de junho de 2017

Integral usando o método de Romberg e Simpson


Algum conhecimento de integração numérica é necessário para esta postagem, sugerimos a esta leitura aqui antes de continuar.

Em alguma situações desejamos calcular a integral de uma função de $a$ até $b$:
\[ \int_a^b f(x) dx = F(a) - F(b) \]
Entretanto, nem sempre é possível ou viável calcular $F(x)$ ou não conhecemos a função $f(x)$, mas temos somente um conjunto de pontos $(x_i,y_i)$. Nesses casos devemos lançar mão de métodos numéricos para calcular a integral. Um dos mais simples é a chamada regra dos trapézios:
\[ \int_a^b f(x) dx \cong \frac{h}{2}(f(a) + f(b)) + E_O(h^2)\]
sendo $h = (b-a)$ e $E_O(.)$ é o erro que é função de $h^2$ e da derivada segunda da função $f(x)$. Se dividirmos o intervalo na metade, o erro tente a ser 4 vezes menor. Vejamos um exemplo simples: qual a integral da função $x^3$ no intervalo $(0,2)$? Numericamente, usando a regra dos trapézios com passo $h=2$:
\[ I_{t2} \cong f(0) + f(2) = 8\]
que apresenta um erro considerável. Se fizermos $h=1$:
\[ I_{t1} \cong \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + f(2)) = 5\]
o erro é bastante reduzido. Podemos, aproximadamente, cancelar esse erro com a seguinte observação:
\[ 4 \times I_{t1} - I_{t2} \cong 3\int_0^2 x^3 dx \]
ou melhor:
\[ \int_0^2 x^3 dx  \cong \frac{4 \times I_{t1} - I_{t2}}{3}\]
Para os valores calculados acima:
\[ I = \frac{4 \times 5 - 8}{3} = 4\]
que é o valor exato da integral da função $x^3$ no intervalo $(0,2)$.

Em geral, o método de Romberg* utiliza a regra dos trapézios em seu algoritmo.  De forma geral, o algoritmo de Romberg usa a seguinte expressão recursiva:
\[     I_{j,k} \cong \frac{4^{k-1}I_{j+1,k-1} - I_{j,k-1}}{4^{k-1}-1}  \]
onde $I_{j,k}$ é a integral melhorada, $I_{j+1,k-1}$ e $I_{j,k-1}$ são as versões menos acuradas. A integração usando o algoritmo de Romberg exige o conhecimento da função $f(x)$, pois dados tabulados dificilmente teriam os pontos necessários para os refinamentos.

Podemos melhorar ainda mais o método de Romberg pelo uso da primeira regra de Simpson** no lugar da regra do trapézio. O esforço computacional aumenta muito pouco e o erro cai duas ordens de grandeza. A primeira regra de Simpson para o cálculo de uma integral exige 3 pontos:
\[ \int_a^b f(x) dx \cong \frac{h}{3}(f(a) + 4f(a+h) + f(a+2h)) + E_O(h^4)\]
com $a+2h = b$, $h = (b-a)/2$. Notamos que o erro cai 16 vezes quando o passo cai pela metade. Se $I_{s1}$ é uma aproximação da integral usando a primeira regra de Simpson com passo $h/2$ e $I_{s2}$ é uma aproximação da integral usando a primeira regra de Simpson com passo $h$, então:
\[ \int_a^b f(x) dx  \cong \frac{16 \times I_{s1} - I_{s2}}{15}\]
E o algoritmo de Romberg pode usar a seguinte expressão recursiva quando a primeira regra de Simpson é usada para calcular as integrais numéricas:
\[     I_{j,k} \cong \frac{16^{k-1}I_{j+1,k-1} - I_{j,k-1}}{16^{k-1}-1} \]

O código Scilab abaixo implementa o algoritmo Romberg e calcula a integral da função $f(x) = 4.5 + 4\cos(x) - 8 e^{-4x}$ no intervalo $(0,4)$. O passo inicial é $h=1$.

Código:

/////// Romberg
clear; clc; close;

function is=itsp1(xi, yi);
    h = xi(2) - xi(1);
    t = max(size(xi));
    p = ones(1,t);
    p(2:2:t) = 4;
    p(3:2:t-1) = 2;
    is = h*sum(p.*yi)/3;
endfunction

function f=fx(x)   //função
    f = 4.5 + 4*cos(x) - 8*exp(-x*4);
endfunction

function g=fxi(x)   //integral da função
    g = 4.5*x + 4*sin(x) + 2*exp(-x*4);
endfunction

xg = 0:0.001:4;
fg = fx(xg);
title('Função de teste');
plot(xg,fg); xgrid(4);
valor_teorico = fxi(4) - fxi(0);
mprintf('valor_teorico = %1.6f \n',valor_teorico);
xgi = 0:1:4;
fgi = fx(xgi);
plot([0, xgi, 4],[0, fgi, 0],'m');

MR = zeros(5,5);
h = 1;
for k=1:5
    x = 0:h:4;
    y = fx(x);
    MR(k,1) = itsp1(x,y);
    h = h/2;
end;
tol = 1e-9;
df = 1;
C = 1;
while (df>tol)&(C<6)
    C=C+1;
    k4 = 16^(C-1);
    L = 0;
    while (df>tol)&(L<6-C)
        L = L + 1;
        MR(L,C) = (k4*MR(L+1,C-1) - MR(L,C-1))/(k4-1);
        df = abs(MR(L,C) - MR(L+1,C-1));
        m_est = MR(L,C);
    end
end

for L=1:5
    mprintf('%1.6f & %1.6f & %1.6f & %1.6f & %1.6f\n',MR(L,1:5));
end

erro = m_est - valor_teorico;
mprintf('Erro = %e,  *** %1.6f',erro,valor_teorico);
 

Resultados numéricos:

valor_teorico = 12.972790

12.089847 & 12.904267 & 12.970364 & 12.972743 & 12.972789
12.853366 & 12.970106 & 12.972742 & 12.972789 & 0.000000
12.962810 & 12.972732 & 12.972789 & 0.000000 & 0.000000
12.972112 & 12.972789 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000
12.972747 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000

Erro = -7.631405e-07,  *** 12.972790



* Werner Romberg (1909–2003) foi criado em Berlim. Entrou na Universidade de Heidelberg em 1928, onde estudou matemática e ciências físicas. Também estudou em Munique. Devido o nazismo, ele foi obrigado a fazer carreira fora de sua terra natal. Seus interesses incluíram o uso de computadores para computação numérica.

** Thomas Simpson nasceu em 20 de agosto de 1710 em Market Bosworth, Leicestershire, Inglaterra. Morreu em 14 maio de 1761 in Market Bosworth. Thomas recebeu pouca educação formal. Ele frequentou a escola no Market Bosworth por um tempo, mas seu primeiro trabalho foi como um tecelão. Foi autodidata em matemática. Ele trabalhou com probabilidade, mas ficou mais conhecido pelos seus trabalho sobre interpolação e integração numérica.

sábado, 10 de junho de 2017

Raízes de um polinômio - usando o comando "roots"



Um polinômio de grau $n$ possui exatamente $n$ raízes, sejam elas complexas ou reais. Se o polinômio tiver apenas coeficientes reais, as raízes complexas aparecem aos pares conjugados. Para uma equação do 2o. grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ é fácil calcular as raízes:
\[ x_r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}\] Para polinômios de maior grau, o cálculo das raízes é bem mais complicado. Para polinômios de grau $5$ ou maior, não existem fórmulas para o cálculo das raízes. Apenas métodos numéricos que podem calcular as raízes com um certo grau de precisão. O comando "roots" do Scilab ou Matlab é usado para essa finalidade. Porém, se as raízes forem repetidas, pequenas imprecisões numéricas levam a resultados curiosos, como mostra a figura acima.

Na figura desta postagem, usamos o comando roots para calcular as raízes do polinômio
\[ x^{14} + 22 x^{13} + 207 x^{12} + 1076 x^{11} + 3309 x^{10} + 5866 x^9 + 4867 x^8 - 1128 x^7 - 7389 x^6 - 11286x^5 - 10611x^4 - 972x^3 + 5103x^2 + 4374x + 6561 = 0\] Logo, quando usamos o comando roots, devemos ter em mente que os resultados são apenas aproximados, algum erro numérico é cometido, especialmente quando o polinômio tem grau elevado e várias raízes repetidas.

sábado, 3 de junho de 2017

Alguns pensamentos de Cícero - Marco Túlio Cícero (106–43 a.C)

Escultura de Cícero por Karl Sterrer, no Parlamento Austríaco. Fonte aqui.


Cícero (Marco Túlio Cícero (106–43 a.C.) em latim: Marcus Tullius Cicero) foi um político, orador, escritor e influente filósofo romano. Algumas de suas frases (fonte aqui e aqui):
  • Não basta conquistar a sabedoria, é preciso usá-la.
  • Se ao lado da biblioteca houver um jardim, nada faltará.
  • Viver sem amigos não é viver.
  • Se ao lado da biblioteca houver um jardim, nada faltará.
  • O hábito de tudo tolerar pode ser a causa de muitos erros e de muitos perigos.
  • A ignorância é a maior enfermidade do gênero humano.
  • Não há nada de tão absurdo que o hábito não torne aceitável.
  • Não há nada de tão absurdo que não saia da boca de algum filósofo.
  • Qualquer pessoa pode errar; mas ninguém que não seja tolo persiste no erro.
  • Nunca estou mais acompanhado do que quando estou sozinho.
  • Prudência é saber distinguir as coisas desejáveis das que convém evitar.
  • Justiça extrema é injustiça.
  • O primeiro dever do historiador é não trair a verdade, não calar a verdade, não ser suspeito de parcialidades ou rancores.
  • Reconhece-se o amigo certo numa situação incerta.
  • A dedicação contínua a um objetivo único consegue frequentemente superar o engenho.
  • Os homens são como os vinhos: a idade azeda os maus e apura os bons.
  • Para que possamos ser livres, somos escravos das leis.
  •  Quanto melhor é uma pessoa, mais difícil se torna suspeitar da maldade dos outros.
  • Ninguém acredita em um mentiroso, mesmo quando ele diz a verdade.
  • Dos amores humanos, o menos egoísta, o mais puro e desinteressado é o amor da amizade.
  • Paixões são como fogo: útil de inúmeras maneiras e perigoso de uma só forma - o excesso.
  • Embora seja curta a vida que nos é dada pela natureza, é eterna a memória de uma vida bem empregada.
  • Somente os idiotas se lamentam de envelhecer.
  • Não me envergonho de confessar aquilo que ignoro.
  • Nenhum dever é mais importante do que a gratidão.

quinta-feira, 1 de junho de 2017

Divulgando: V ENCONTRO INTERNACIONAL TRABALHO E PERSPECTIVA DE FORMAÇÃO DOS TRABALHADORES



V ENCONTRO INTERNACIONAL TRABALHO E PERSPECTIVA DE FORMAÇÃO DOS TRABALHADORES:
ECOS DE 1917: EDUCAÇÃO PARA EMANCIPAÇÃO HUMANA, FORMAÇÃO PARA O TRABALHO E AS LUTAS SOCIAIS
09, 10 e 11 de novembro de 2017 

A Universidade Federal do Ceará, por meio do Laboratório de Estudos do Trabalho e Qualificação Profissional – LABOR, em parceria com o Núcleo de Pesquisas em Educação Profissional - NUPEP do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCE e com o Programa de Pós-Graduação em Educação Brasileira da Universidade Federal do Ceará – UFC, promove o V Encontro Internacional Trabalho e Perspectivas de Formação dos Trabalhadores, com a finalidade de contribuir com o debate em torno da escola que se tem e a que se quer nos seus diversos modos de formação ofertados à sociedade em geral e em especial aos trabalhadores. Neste sentido, a cada encontro colocam-se em pauta questões relativas à qualidade da formação, à realização pessoal e profissional do trabalhador, a sua inserção no mundo de trabalho, a relação dessas categorias com o desenvolvimento econômico, político, cultural e social do Brasil e do mundo.

​O V Encontro Internacional do LABOR dá sequência aos anteriores em suas temáticas, mas define a opção de dedicar seu foco à influência da Pedagogia desenvolvida na Rússia pós-Revolução de 1917, em especial no que concerne a formação dos trabalhadores, contextualizada no panorama geopolítico mundial atual. Entende-se que a formação da força de trabalho insere-se no mesmo contexto em que se debate o sistema escolar como um todo e, por ser um campo em disputa, todas as matizes pedagógicas devem ser levadas em consideração.

​O evento caracteriza-se como um grande momento, de nível internacional, compreendendo a realização de Conferências Magnas, Palestras, Mesas de Debates, Laçamentos de Livros e Socialização de Pesquisas em Grupos de Trabalho e Exposição de Pôsteres, voltando-se, para a difusão e debate de ideias e teorias referenciais da educação, trabalho, formação humana, desenvolvimento econômico e social.

Mais informações aqui.

quarta-feira, 31 de maio de 2017

Dica de leitura: Para Ler Romances Como Um Especialista


Ler um bom livro é, quase sempre, um grande prazer. Alguns livros só conseguimos largar depois de ler a última página. Outros parecem ser muito herméticos e com dificuldade avançamos algumas páginas por dia. Ou desistimos ainda no primeira tentativa. Ler não é tão fácil quanto aparenta ser, não é só decodificar palavras isoladas, mas juntar as ideias escritas e as que não estão escritas, mas que o autor deixou no ar.

O livro "Para ler romances como um especialista" (título original: How to Read Novels Like a Professor, tradução de  Maria José Silveira) de Thomas C. Foster (ver aqui e aqui) é, sem dúvida, divertido e muito, muito instrutivo. É praticamente um roteiro para quem pretende escrever um romance. Uma resenha do livro (fonte aqui):
Com uma visão abrangente da literatura e de suas bases de interpretação, Thomas Foster consegue passar por temas universais ofertando ao leitor chaves do entendimento da literatura ocidental. O autor focaliza obras clássicas e essenciais; trabalha com exemplos de diversos gêneros literários (romances, poemas, ficção, teatro) em uma aula divertida de decodificação de símbolos em que nem tudo é o que parece.
Da "orelha" do livro:
Com uma visão abrangente da literatura e de suas bases de interpretação, Thomas Foster visa passar por temas universais ofertando ao leitor chaves do entendimento da literatura ocidental. O autor focaliza obras clássicas e essenciais; trabalha com exemplos de diversos textos literários em uma aula de decodificação de símbolos em que nem tudo é o que parece. Para Foster, a prática da interpretação de romances é o que leva o leitor a se tornar um verdadeiro expert em reconhecer os reais significados por trás das palavras escolhidas pelos autores. Este guia mostra como pode ser gratificante descobrir as verdades escondidas.