sábado, 12 de janeiro de 2019

Calculando "pi"

Existem muitas fórmulas interessantes para o cálculo da famosa constante $\pi$. Essa constante é o resultado da razão entre o comprimento do círculo pelo seu diâmetro:
\[ \pi = \frac{comprimento-do-circulo}{diametro}\]
Claro que a melhor forma de obter o valor de $\pi$ não é construindo um círculo, medindo o seu comprimento e depois dividindo pelo diâmetro. Erros de construção e medição iriam afetar o resultado final. Entre as fórmulas conhecidas para o cálculo de podemos citar (Gregory e Leibniz, Beeler et al. e Bailey et al.):
\[ \pi/4 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \] \[ \pi/2 = 1+\frac{1}{3} + \frac{1.2}{3.5}+ \frac{1.2.3}{3.5.7} + \frac{1.2.3.4}{3.5.7.9} ...\] \[ \pi=\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}).(\frac{1}{16})^n. \]
Entretanto, não iremos usar nenhuma dessas fórmulas para o cálculo de $\pi$. Usaremos o método de Newton-Raphson (para saber sobre esse método ver aqui) para encontrar zeros de uma função para calcular numericamente o valor de $\pi$. Resumidamente, o método de Newton consiste no seguinte algoritmo: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] sendo $x_0$ o chute inicial da raiz da função $f(x)$. Esse chute não pode ser muito distante da raiz da função. No caso, escolhendo a função $\sin(x) = 0$ e como chute inicial $x_0 = 3$, usamos fórmula iterativa
\[ x_{n+1} = x_n - \tan(x_n)\]
e obtemos:

 n:      valor $x_n$:                             erro ($x_n - \pi$):
   1.    3.1425465430742778316642  - 0.0009538894844847156662
   2.    3.1415926533004769893864    0.0000000002893161266115
   3.    3.1415926535897931159980    0.

O código Scilab é bem simples:

x=3
for k=1:3
    x=x-  tan(x);
    e=%pi-x;
    disp([k,x,e]);
end

quarta-feira, 9 de janeiro de 2019

Resiliência

Fonte e figura original aqui.
Manter uma atitude positiva diante dos desafios não é uma tarefa fácil ou trivial. Manter a calma diante dos problemas que chegam em uma sequência de golpes que parece interminável pode quebrar o bom humor de qualquer um. Se você conseguir permanecer firme com tudo isso, então você é uma pessoa resiliente. Ninguém nasce resiliente, mas todos podemos aprender.

Uma definição de dicionário para resiliência é:

Resiliência - substantivo feminino. 1. FÍSICA: propriedade que alguns corpos apresentam de retornar à forma original após terem sido submetidos a uma deformação elástica. 2. FIGURADO (SENTIDO) - FIGURADAMENTE: capacidade de se recobrar facilmente ou se adaptar à má sorte ou às mudanças.

Como ninguém é perfeito, todos cometemos erros. Saber aceitar os próprios erros e enxergar neles uma oportunidade de crescimento e aprendizado é uma das características de uma resiliente. Quase sempre, as derrotas precedem uma grande vitória. Saber lidar com toda essa frustração é um aprendizado que deve começar na infância. Infelizmente, muitos de nós pais acabamos errando quando damos "tudo" o que os nossos filhos pedem. Isso é um grave erro que poderá aflorar mais tarde na vida deles quando eles tiverem que enfrentar os problemas da adolescência e da vida adulta.

É importante também nos concentramos no que podemos fazer para resolver os problemas e não ficar tentando mudar o que não temos controle algum. Conseguir ter a atitude correta frente aos desafios é fundamental para que eles sejam resolvidos. Se, além disso tudo, tivermos uma perspectiva mais ampla da situação, confiando no nosso potencial e exercendo "uma partícula de fé", as soluções certamente surgirão e sentiremos um grande alívio das tensões.

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segunda-feira, 31 de dezembro de 2018

Uma meta para 2019

Bem-aventurados os mansos, porque eles herdarão a terra. Mateus, 5, 5.

Mudar o mundo é muito difícil, bem menos ambicioso e mais prático é tentar mudar a si mesmo. Não estou dizendo que devemos fechar os olhos para as injustiças que vemos, mas que também é importante tentarmos ser pessoas melhores. Isso também pode ajudar a mudar o mundo para melhor.

Após refletir um pouco sobre o que fizemos ou deixamos de fazer neste ano que finda, podemos tentar encontrar os nossos pontos fracos e nos esforçarmos para melhorar nosso comportamento e temperamento. Se fizermos isso, teremos menos frustração, menos problemas com o nosso próximo e um maior nível de satisfação pessoal. Não é fácil lutar contra o nosso "eu natural", mas é uma luta que vale a pena ser lutada. Ao final, não existem perdedores nessa luta. Podemos até conseguir fazer que o mundo a nossa volta se torne um lugar melhor para viver.

Uma característica que podemos tentar aumentar em nós em 2019 é a "mansidão". O que é e o que significa "mansidão"? Podemos dizer que a mansidão é um estado de espírito de alguém que tem controle e domínio sobre seu temperamento e atitudes; calma; paciência; controle da situação e domínio próprio. É o oposto de intranquilidade, rispidez, irritação ou agressividade. Uma pessoa que tenha essa característica não se irrita facilmente e tem muita força interior, sabe reconhecer as conquistas dos outros e não é arrogante. É uma pessoa agradável.

Em um mundo cheio de conflitos e pessoas egoístas que só olham para o próprio bem estar, ser diferente, fazer a diferença, pode ajudar a melhorar o mundo e torná-lo um lugar mais pacífico, começando por onde estamos e vivemos. Ter mais mansidão, que essa seja uma meta pessoal para este ano de 2019 que está chegando.

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Três discursos muito bons sobre esse tema:

segunda-feira, 24 de dezembro de 2018

Feliz Natal

Imagem: fonte aqui.
Hoje é uma data festiva em todo o mundo cristão, uma data de celebração e de alegria. Mas as trocas de presentes não são a sua essência, festas e uma mesa farta (para aqueles que podem) não são o mais importante para o dia de hoje. Um bom presente que podemos oferecer ao aniversariante especial de hoje é mais harmonia em nossos lares e com nossos amigos, vizinhos e familiares. Mesmo assim não estaremos fazendo nada além do que já é nossa obrigação.

Entretanto, para muitos, esse dia acaba se tornando uma data melancólica, talvez até mesmo solitária. Em grande medida, isso ocorre por que nós mesmos fazemos muitas escolhas erradas, percorremos caminhos que não os melhores, deixamos de lado as coisas que realmente importam e, no final, colhemos muita frustração. E não é uma ceia de natal bonita, luzes coloridas ou efeitos bonitos que poderão preencher esse vazio.

Nesta véspera de Natal devemos lembrar que o verdadeiro propósito desta celebração é relembrar o nascimento de Jesus Cristo e de tudo o que isso significa. Tentar uma vida que leve isso em conta é o que de fato interessa, tudo o mais são acessórios.

sábado, 22 de dezembro de 2018

Convite: Recital de Natal - Estaca Fortaleza.


Teremos neste domingo o Recital de Natal da Estaca Fortaleza, 19h. Endereço: Rua Guilherme Moreira, no. 317, Bairro de Fátima. Todos são bem-vindos e convidados para este recital.

quarta-feira, 19 de dezembro de 2018

Um "novo" planeta (anão) muito distante


Plutão deixou de ser planeta (agora é um "planeta anão") já faz algum tempo. Também já não é o corpo celeste "grande" mais afastado do Sol, pois existem vários outros como Sedna e Eris. O corpo localizado desta vez está situado a cerca de 120 unidades astronômicas (AU) do Sol (uma AU é a distância entre Terra e Sol, equivalente a 150 milhões de quilômetros). Ele (seu nome provisório é 2018VG18 ou Farout) é pequeno, deve ter cerca de 500 km de diâmetro e é, naturalmente, um mundo extremamente gelado. Farout precisa de mil anos para completar uma volta em torno do Sol. Este pequeno mundo foi descoberto usando o telescópio Subaru instalado no Havaí.

segunda-feira, 17 de dezembro de 2018

Solução de sistemas de equações não lineares: método iterativo.


Em uma postagem anterior (ver aqui) mostramos como resolver um sistema de equações não lineares usando o método de Newton-Raphson. Nesta postagem mostraremos uma forma mais simples que, se aplicável, também pode levar à solução do sistema. Por exemplo, para o sistema \begin{align*} x^3 + xy & = 3 \\ \sqrt{x} - y^2 & = 5 \end{align*}
Podemos escrever as seguintes equações acopladas:
\begin{align*} x_{k+1} & = \sqrt[3]{3-x_k y_k} \\ y_{k+1} & = \sqrt{5 - \sqrt{x_{k+1}}} \end{align*}
Com o chute inicial $x_0 = 0,5$ e $y_0 = 0,5$, obtemos a seguinte solução:

 1.401    1.954
 0.641    2.049
 1.190    1.977
 0.865    2.017
 1.079    1.99
 0.948    2.007
 1.031    1.996
 0.980    2.003
 1.012    1.998

Que tende a convergir para $x_f = 1$ e $y_f = 2$ depois de mais algumas iterações. Esse método é, certamente, mais lento que o método de Newton, mas é mais simples de ser usado. Exemplo 2 e código Scilab em seguida. Seja
\begin{align*} x^4 + 3xy - z^2 & = 8,00000 \\ x + y^2 + ln(z) & = 2,69315 \\ 2x - xy + e^z & = 8,38906 \end{align*}
Convergência da solução:
1.62658    1.32654    1.987
0.88206 + 0.88206i    1.12996 - 0.39031i    2.08482 - 0.13866i
0.98112 - 0.47983i    1.02295 + 0.26699i    2.02733 + 0.09638i
0.86665 + 0.1157i    1.06046 - 0.07695i    2.02627 - 0.02312i
1.02708 - 0.01715i    0.97981 + 0.01458i    1.99355 + 0.00442i
1.00151 - 0.00302i    1.00086 + 0.00040i    1.99991 + 0.00046i
0.99831 + 0.00151i    1.00087 - 0.00087i    2.00035 - 0.00032i
1.00027 - 0.00016i    0.99978 + 0.00016i    1.99993 + 0.00004i
1.00003 - 0.00004i    1. + 0.00001i    2. + 7.4D-06i
0.99998 + 0.00002i    1.00001 - 0.00001i    2.00001 - 3.7D-06i
1. - 1.3D-06i    1. + 1.6D-06i    2. + 3.9D-07i
1.00000 - 6.0D-07i    1. + 2.0D-07i    2. + 1.1D-07i

Depois de 13 iterações, o sistema converge para solução correta: $x_f = 1$, $y_f = 1$ e $z_f = 2$ com um erro pequeno (com direito a valores complexos). Código Scilab é bem simples:

clc;
x = 0.5; y = 0.5; z = 0.5;
v1 = 8; v2 = 2.69315; v3 = 8.38906;
for k=1:12
    x = (v1 - z*z - 3*x*y)^(1/4);
    y = sqrt(v2 - log(z) - x);
    z = log(v3 - 2*x + x*y)
    disp([x,y,z]);
end