quarta-feira, 19 de julho de 2017

Simulado as equações de Edward Lorenz

Simulação do sistema de equações de Lorenz.

Página inicial do artigo E. N. Lorenz



Um sistema de equações diferenciais não lineares acopladas não uma tem solução analítica, mas podemos simular usando um método numérico para solução de equações diferenciais. As equações de Lorenz (sobre esse pesquisador, ver aqui) modelam a intensidade de movimento do fluido atmosférico $x$ às variações de temperatura $y$ e $z$ nas direções horizontal e vertical, respectivamente. O modelo matemático (equações 25, 26 e 27 do artigo seminal Deterministic Nonperiodic Flow, ver aqui) é:
\begin{align*} \frac{dx}{dt} &= \sigma (y - x) \\ \frac{dy}{dt} &= rx - y - xz \\ \frac{dz}{dt} &= -bz + xy \end{align*}
Resolvemos numericamente essas equações usando o Scilab (ver gráficos acima) e o método de Euler, que é o mais simples e razoável para este problema.

Código Scilab (como já é "tradicional", economizamos nos comentários):

///////////////////  Lorenz
////   dx/dt = -sx + sy
////   dy/dt = rx - y - xy
////   dz/dt = - bz + xy

clc; close; close;

N = 10000;
vx = zeros(1,N);
vy = zeros(1,N);
vz = zeros(1,N);

x = 10;
y = 20;
z = 30;
dt = 0.005;
s = 10; b = 8/3; r = 28;
for k=1:N
    x = x + dt*s*(y - x);
    y = y + dt*(r*x - y - x*z);
    z = z + dt*(x*y - b*z);
    vx(k) = x;
    vy(k) = y;
    vz(k) = z;
end

subplot(2,2,1); plot(vx,vy);
subplot(2,2,2); plot(vx,vz);
subplot(2,1,2); plot(vy,vz);
figure; param3d(vx,vy,vz); xgrid(3);

Lorenz percebeu que pequenas mudanças nos parâmetros iniciais das suas equações levam a grandes mudanças nos resultados - isso é conhecido como efeito borboleta (ver aqui) - que faz parte da teoria do caos - como podemos ver na figura abaixo:
Mesmas equações, mas valores iniciais levemente diferentes geram uma solução totalmente diferente a longo prazo.


terça-feira, 18 de julho de 2017

Divulgando: CCXC 2017 - Cel. Edmar Monte (3ª Etapa) - Xadrez


CCXC 2017 - Cel. Edmar Monte (3ª Etapa) 27-30 Jul Náutico Atlético Cearense,Fortaleza-CE Av. da Abolição, 2727 - Meireles, Fortaleza - CE Click aqui para fazer sua inscrição agora!

Circuito Cearense de Xadrez Clássico 2017 – Cel. Edmar Monte
3ª Etapa
VAGA PARA A FINAL DO CEARENSE!! 

Do Objetivo e Organização: – Promover o intercâmbio e movimentação do Rating nacional CBX e ofertar uma vaga para a Final do Cearense Absoluto 2017. O Torneio será realizado em Fortaleza-CE nos dias 27, 28, 29 e 30 de Julho de 2017, no Náutico Atlético Cearense.

segunda-feira, 17 de julho de 2017

Uma ideia ou duas sobre tolerância religiosa



Vivemos em um mundo que apresenta uma diversidade cultural imensa. Essa diversidade inclui todos os aspectos da vida cotidiana, incluindo hábitos alimentares, tendências políticas, gosto musical (ou mal gosto em alguns casos), visão de mundo e, naturalmente, os aspectos religiosos e de fé. Nem todos conseguem conviver bem com tamanha diversidade de pensamentos, opiniões e estilos de vida.

Em relação à religião, as coisas podem ser ainda mais complicadas, pois inúmeros aspectos da vida são "regulados" por ela. Alguns acham que o único jeito certo de exercitar a fé é do jeito que ele mesmo (e, às vezes, um pequeno grupo) adota. Isso pode ser uma potencial fonte de sérios problemas. Mas não é isso que que pregam os líderes religiosos mais importantes.

No Brasil, existe até uma data para o combate à intolerância religiosa: 21 de janeiro. Essa data foi instituída com a Lei 11.635, de 27 de dezembro de 2007, para combater atitudes descriminatórias no que diz respeito à religião.
"Para a Igreja católica, tolerância é muito mais que “suportar” o outro. “É ser capaz de acolher o diferente, conviver, respeitar e naquilo que temos em comum, caminhar juntos! A intolerância e violência religiosa está em absoluta contradição com qualquer religião, digna desse nome!”, declara o assessor da Comissão Episcopal Pastoral para o Ecumenismo e o Diálogo Inter-religioso da CNBB, padre Marcus Barbosa Guimarães " (fonte aqui).
Gordon Bitner Hinckley (Salt Lake City, 23 de junho de 1910 - Salt Lake City, 27 de janeiro de 2008), décimo quinto presidente de A Igreja de Jesus Cristo dos Santos dos Últimos Dias, afirmou sobre esse tema (fonte aqui):
"Cremos em doutrinas diferentes. Apesar de reconhecermos nossas diferenças teológicas, creio concordarmos e estarmos cientes dos males e problemas do mundo e da sociedade em que vivemos, e em nossa grande responsabilidade e oportunidade de nos mantermos unidos com essas qualidades na vida pública e privada, que fala de virtude e moralidade, de respeito por todos os homens e mulheres como filhos de Deus, da necessidade de civilidade e cortesia em nossos relacionamentos, e da preservação da família como uma unidade básica, divinamente ordenada, da sociedade. 
(…) Todos temos em nosso coração o desejo de dar assistência aos pobres, de dar ânimo aos aflitos, dar consolo, esperança e ajuda a todos os que têm problemas e sofrem por qualquer causa. 
Reconhecemos a necessidade de curar as feridas da sociedade e de substituir o pessimismo de nossa época pelo otimismo e pela fé. Devemos reconhecer que não há necessidade de recriminações ou críticas de um para com o outro. Precisamos usar nossa influência para silenciar as vozes da ira e das discussões amargas. 
(…) Nossa força está na nossa liberdade de escolha. Há força mesmo em nossa própria diversidade. Porém, há força maior no mandamento dado por Deus para nos ensinar a trabalhar pelo engrandecimento e bênção de todos os Seus filhos e Suas filhas a despeito de sua etnia, nacionalidade e outras diferenças. (…) 
Que o Senhor nos abençoe para que trabalhemos unidos em coração e eliminemos de nossa sociedade todos os elementos de ódio, fanatismo, racismo e outras palavras e ações que causem divisões. Os comentários falsos, as calúnias raciais, os apelidos odiosos, os mexericos maliciosos, os rumores malvados e perversos não devem ter lugar entre nós."

sexta-feira, 14 de julho de 2017

Resposta em frequência: variação devido a tolerância dos componentes


Quando projetamos qualquer circuito eletrônico temos que ter em mente que os componentes não são ideais. Um amplificador operacional sempre tem um impedância finita na entrada e a impedância de saída não é nula, por exemplo. Os componentes mais simples, como resistores e capacitores, também não são ideais e apresentam alguns efeitos parasitas (por exemplo: indutância parasita), além do problema da tolerância do próprio componente, isto é, o valor indicado pelo fabricante pode variar para mais ou para menos em relação ao valor nominal. Para resistores, a tolerância é tipicamente de 2%, 5% ou 10%.

Assim, quando projetamos um filtro, por exemplo, a resposta em frequência é afetada pela variação dos parâmetros dos elementos que formam o circuito. Para um filtro do tipo passa-faixa KRC usando um amplificador operacional ideal com ganho $k_1 = (r_a + r_b)/r_b$, tanto a frequência central quanto o fator de qualidade variam conforme incluímos os efeitos das tolerâncias dos componentes.

No código Scilab abaixo, supomos que os resistores apresentam uma tolerância de uns 5% e os capacitores de uns 10%. No gráfico acima vemos o efeito dessas variações. O gráfico foi gerado pela superposição de 30 curvas do ganho do filtro, em vermelho a curva de ganho considerando componentes ideais e com os seus valores nominais.

Código Scilab:


clc; close; 

r1 = 100;
r2 = 100;
r3 = 100;
c1 = 0.001;
c2 = 0.001;
ra = 1000;
rb = 2000;
w0 = (r1+r3)/(r1*r2*r3*c1*c2);
w = 10:2:10*w0; 
s = w*%i;
s2 = s.*s;

    k1 = (ra+rb)/rb;
    w0 = (r1+r3)/(r1*r2*r3*c1*c2);
    Q = sqrt((r1+r3)*r1*r2*r3*c1*c2)/(r1*r3*(c1+c2)+r2*c2*(r3+r1*(1-k1)));
    K = k1/(1 + r1*c1/r2*c2 + r1/r2 + r1*(1-k1)/r3);
    w02 = w0*w0;
    hs = K*(w0/Q)*s./(s2 + (w0/Q)*s + w02);
    hsa = abs(hs);
    hsadr = 20*log10(hsa);
    
for k=1:30
    r1 = 100 + 2*rand(1,1,'n');
    r2 = 100 + 2*rand(1,1,'n');
    r3 = 100 + 2*rand(1,1,'n');
    c1 = 0.001 + 0.05*0.001*rand(1,1,'n');
    c2 = 0.001 + 0.05*0.001*rand(1,1,'n');
    ra = 1000 + 20*rand(1,1,'n');
    rb = 2000 + 40*rand(1,1,'n');

    k1 = (ra+rb)/rb;
    w0 = (r1+r3)/(r1*r2*r3*c1*c2);
    Q = sqrt((r1+r3)*r1*r2*r3*c1*c2)/(r1*r3*(c1+c2)+r2*c2*(r3+r1*(1-k1)));
    K = k1/(1 + r1*c1/r2*c2 + r1/r2 + r1*(1-k1)/r3);
    w02 = w0*w0;
    hs = K*(w0/Q)*s./(s2 + (w0/Q)*s + w02);
    hsa = abs(hs);
    hsad = 20*log10(hsa);
    plot(w,hsad);
end
plot(w,hsadr,'r');
a=get("current_axes");
a.log_flags = "lnn";
xlabel('frequência - rad/s');
ylabel('Ganho - dB');
title('Filtro PF de 2a. ordem');
xgrid;

segunda-feira, 10 de julho de 2017

Divulgando: Palestra Educação de Alto Habilidosos / Superdotados


Prezados amigos, solicito que divulgem a palestra que irei ministrar sobre a temática das Altas Habilidades / Superdotação no campo Educacional. Além da caracterização geral desse fenômeno tão complexo e heterogenio, concentraremos nossa atenção para abordar aspectos metodológicos e tecnológicos aplicáveis a educação desse público que precisa tanto de um tratamento qualitativamente diferenciado. Trata-se de um direito humano e de uma estratégia para o desenvolvimento do Brasil.
Ratifico ainda que tal evento inagura um conjunto de ações quefazem parte de um grande Programa de Extensão intitulado "Educação para o Talento" que terá diversas frentes de ação:  1) Realização de Eventos (Palestras, Cursos de 60h para educadores e Fóruns); 2) Desenvolvimento de um App sobre Altas Habilidades (Já está 70% construído); 3) Desenvolvimento de uma grande rede social de aprendizagem para educadores do campo das altas habilidades e postriormente para as outras searas de Educação Inclusiva (será chamada de AVATEC - Ambiente Virtual de Aprendizagem, Trabalho, Ensino e Cooperação); 4) Construção de um curso MOOC - Massive Open Online Course de 160h para professores de todo o Brasil no campo das Altas Habilidades; 5) Mapeamento de crianças e adolescentes com comportamentos de AH/SD, obedecendo a lei da cadastro nacional de alunos superdotação; 6) Criação de um Núcleo de Atendimento Especializado no IFCE, constituído por equipe multidiciplinar competente que atenderá a comunidade interna e externa, o que inclui também os pais das crianças e adolescentes AH/SD e 7) Dar suporte para a criação e desenvolvimento de Grupos de Talentos (GTs), primeiramente no IFCE e, posteriormente, em todos os IFs. Nesse caso serão grupos liderados por professores que acompanham alunos superdotados e potencialmente superdotados em diferentes áreas e contemplando as habilidades, caracterísitcas, interesses, preferencias, ritmos e estilos de aprendizagem dos estudantes. Dessa forma, é uma ação pioneira no IFCE e que deverá crescer com o esforço/trabalho colaborativo entre gestão, educadores e comunidade em geral. Queremos tornar o IFCE epicentro de um grande movimento ético e educacional a favor das Altas Habilidades / Superdotação.

Xadrez: CCXC 2017 - Cel. Edmar Monte (3ª Etapa)


CCXC 2017 - Cel. Edmar Monte (3ª Etapa) 27-30 Jul Náutico Atlético Cearense,Fortaleza-CE Av. da Abolição, 2727 - Meireles, Fortaleza - CE Click aqui para fazer sua inscrição agora!
VAGA PARA A FINAL DO CEARENSE!!
REGULAMENTO da Etapa: http://bit.ly/2suxbmn

Favor LER com atenção todo o regulamento, tanto o do Circuito como o da Etapa, e qualquer dúvida, enviar email para wsajr82@gmail.com ou whatssapp 85 9 9925.8173.

Todos os jogadores deverão estar cadastrados na CBX 
e em dia com a anuidade CBX 2017 

Cadastramento: http://www.cbx.org.br/cadastro 
Emissão da taxa: http://www.cbx.org.br/taxas(jogadores)
Regulamento do Circuito: http://bit.ly/2mISpZm

quarta-feira, 5 de julho de 2017

Dica de leitura: "Nossa Busca da Felicidade"


Esta é uma dica de leitura um tanto diferente de outras que apareceram neste blog. O livro "Nossa Busca da Felicidade: Um convite a entender A Igreja de Jesus Cristo dos Santos dos Últimos Dias" (em inglês: Our Search for Happiness: An Invitation to Understand the Church of Jesus Christ of Latter-day Saints) é um livro ao mesmo tempo religioso e uma explanação sobre o que pensam e acreditam os Mórmons. É um livro pequeno no tamanho (pouco mais de 120 páginas), fácil de ler e muito bem escrito. O autor é M. Russell Ballard, membro do Quórum dos Doze Apóstolos de A Igreja de Jesus Cristo dos Santos dos Últimos Dias (ver aqui e aqui).

Uma sinopse (fonte aqui):

Como se estivesse conversando com o leitor, o Élder M. Russell Ballard apresenta seu livro repleto de informações às pessoas de todo o mundo que falam português. O Élder Ballard fala a respeito da Apostasia, da necessidade da Restauração, do Livro de Mórmon, do sacerdócio, do plano de salvação, das Regras de Fé, da Palavra de Sabedoria, de templos, da obra missionária e dos benefícios de se viver o evangelho.

Relatando experiências pessoais, ele revela como o evangelho o beneficiou e conclui com seu testemunho e um convite aos leitores para que indiquem sua reação à mensagem do livro escrevendo-lhe. Qualquer membro da Igreja pode sentir-se seguro ao dar este livro de presente a um familiar não membro, a amigos e a membros menos ativos da Igreja que falem português.

terça-feira, 4 de julho de 2017

Consulta Pública: PLC 38/2017 - PROJETO DE LEI DA CÂMARA nº 38 de 2017 - Vote não!


Resumo: Altera a Consolidação das Leis do Trabalho (CLT), aprovada pelo Decreto-Lei nº 5.452, de 1º de maio de 1943, e as Leis nºs 6.019, de 3 de janeiro de 1974, 8.036, de 11 de maio de 1990, e 8.212, de 24 de julho de 1991, a fim de adequar a legislação às novas relações de trabalho.
Tema: Reforma Trabalhista.

O Senado abriu consulta pública sobre a Reforma Trabalhista. Vamos aproveitar para votar "NÃO" e divulgar para que todos possam votar não.

*** Link:  https://www12.senado.leg.br/ecidadania/visualizacaomateria?id=129049

Divulgando: CCXR - CIRCUITO PASSARÉ - 1a Etapa (xadrez)



CCXR - CIRCUITO PASSARÉ - 1a Etapa
6 Jul,19:15h - 21:45h
Supermercado Santa Rita Passaré,Fortaleza-CE
R. Santa Rita das Causas Impossíveis, 691 - Passaré, Fortaleza - CE, 60744-315
Click aqui para fazer sua inscrição agora!

Organização/Arbitragem: Marcius Brandão

Forma de disputa:
- Sistema Suíço em 5 rodadas pelo programa Swiss Perfect 98
- Cadência 1: Relógios digitais -> 10 minutos + 5 segundos de incremento
- Cadência 2: Relógios analógicos -> 15 minutos
- Desempate : 1.Buchholz 2.Progressivo 3.Median-Buchholz 4.BergerCadência: 15minutos

 
Inscrições: APENAS 16 VAGAS!!
- NÃO HAVERÁ INSCRIÇÕES NO DIA DO EVENTO!!
- VAGAS APENAS PARA OS PRIMEIROS QUE:

1. SE INSCREVEREM PELO SITE www.chess-ratings.com
2.Realizarem o pagamento de R$ 10,00 até 24 horas depois na conta abaixo:
*Bradesco Agência: 0741 Conta: 4447-4 Favorecido : MARCIUS GOMES BRANDÃO
3.Enviar comprovante para marciusbrandao@gmail.com
4.Após esse período, não confirmado o pagamento, a inscrição será CANCELADA!

Programação:
-19:15 - Abertura e Congresso Técnico
-19:30 - Início das rodadas
-22:00 - Encerramento
Premiação:
- Campeão Geral do Circuito : Vaga na super final do CCXR com hospedagem e alimentação
- Vice Campeão Geral do Circuito : Vaga na super final do CCXR
- Demais jogadores: Os pontos no circuito serão computados ao Ranking do CCXR 2017

 

sábado, 1 de julho de 2017

Resposta em frequência - Diagrama de Bode e Simulação



Quando analisamos um sistema linear estável, algumas vezes estamos interessados somente no comportamento na frequência de um determinado sistema, o transitório não interessa ou não é importante. Por exemplo, quando analisamos um filtro passa baixa, é muito mais importante saber a frequência de corte e o ganho na banda de rejeição que saber exatamente quanto tempo dura o transitório.

Quando já temos a função de transferência $H(s)$, calcular a resposta em frequência é fácil: basta substituir $s$ por $j\omega$, onde $j^2 = -1$. $H(\omega)$ é uma função complexa que varia com o valor de $\omega$. De $H(\omega)$ calculamos o ganho $G(\omega) = |H(\omega)|$ e a fase $f(\omega) = angle(H(\omega)$). Os gráficos da fase e do ganho geram o Diagrama de Bode*.

Por exemplo, para função
$$ H(s) = \frac{(s^2 + 410)(s^2 + 370)}{s^4 + 20s^3 + 400s^2 + 800s + 151700}$$

O gráfico de $|H(\omega)|$ é:

O código Scilab é:

clc; xdel(winsid()); // fechando as janelas.

w=0.1:0.05:999.9;
s=%i*w;  s2=s.*s; s3=s2.*s; s4=s3.*s;

w1 = 410; w2 = 370;
N = (s2 + w1).*(s2+w2);
D = s4 + 20*s3 + 400*s2 + 800*s + w1*w2;
H = N./D;
Ha = abs(H);
plot(w,Ha);
a=get("current_axes");
a.log_flags = "lnn";

Obs: existe o comando "bode" no Scilab. próprio para gerar o diagrama de Bode.

Um exemplo mais prático: simulação de um circuito RLC de 4 ordem. Esse circuito é um filtro do tipo rejeita faixa.


A simulação foi do tipo "AC Analysis" - software LTspice IV (ver aqui). Resultado (ganho e fase em um mesmo gráfico):



* Sobre Hendrik Wade Bode (pronúncia em inglês Boh-dee, em holandês Boh-dah):
Nasceu em Madison (Wisconsin), 24 de dezembro de 1905 — Cambridge (Massachusetts), morreu em 21 de junho de 1982. Foi um engenheiro estadunidense de ascendência holandesa. Como um pioneiro da moderna teoria de controle e telecomunicação eletrônica revolucionou o conteúdo e a metodologia destes campos de pesquisa. Contribuiu fundamentalmente para o projeto, orientação e controle de sistemas anti-aéreos durante a Segunda Guerra Mundial e continuou durante a Guerra Fria com o projeto e controle de mísseis e mísseis antibalísticos. Fonte aqui.

quinta-feira, 29 de junho de 2017

Divulgando: Palestra PPGET (IFCE, Campus Fortaleza)



O professor João Alexandre Lôbo Marques (mestre e doutor em Engenharia de Teleinformática pela UFC, Lattes aqui) debaterá assuntos relacionados com engenharia biomédica, robótica educacional, redes neurais, lógica fuzzy e internacionalização com discentes e docentes do PPGET.

Dia: 05/julho/2017.
Hora: 10 horas.
Local: Miniauditório, Campus Fortaleza.

quarta-feira, 28 de junho de 2017

Greve geral dia 30 de junho



Greve Geral do dia 30 de junho: prioridade da classe trabalhadora.

A DN do SINASEFE, reunida nos dias 17 e 18 de junho, orienta às bases do SINASEFE que a nossa prioridade, consoante a deliberação da 149ª Plenária Nacional, é a realização da Greve Geral do dia 30 de junho.

Nesse sentido, é preciso intensificar as mobilizações e apoio a todos os movimentos sociais, estudantis e populares para a realização da Greve Geral do dia 30 de junho. Compreendemos que é possível derrotar as reformas e colocar para “Fora, Temer”. No entanto, para isso, é necessária a realização de uma nova Greve Geral, que seja mais forte que a do dia 28 de abril. Essa Greve Geral parou mais de 40 milhões de trabalhadores e trabalhadoras e causou prejuízos aos patrões que querem retirar os nossos direitos na ordem de R$ 40 bilhões; assim, precisamos repetir isso no dia 30/06.

Para saber mais e fonte aqui.

sábado, 17 de junho de 2017

Dica de leitura: Cleópatra - Uma Biografia


A primeira vez que ouvir dizer que "Cleópatra" havia sido uma rainha do Egito Antigo, lembro de ter pensado algo do tipo: "Nome estranho para uma faraó do Egito. Uma mulher faraó?" Sabia que essa história devia ter muitos detalhes interessantes. Somente agora conheço alguns deles.

Cleópatra foi, provavelmente, a mulher mais influente e poderosa do Mundo Antigo (isto é, a região do Mediterrâneo que liga o Norte da África, o sul da Europa e o Oriente próximo). Conseguiu governar o Egito por 22 anos, sendo dúvida alguma uma grande façanha, considerando que teve que lutar astutamente contra membros da própria família e se equilibrar na delicada política interna e externa daquela época. Odiada por muitos romanos, entre eles Cicero, que dependiam do trigo egípcio e de outros recursos, e amada por Marco Antônio (Marcus Antonius) - político e um dos mais importantes generais romanos após a morte Júlio César que também foi influenciado pela jovem Cleópatra.

O livro "Cleópatra - Uma Biografia" de Stacy Madeleine Schiff (26 de Outubro de 1961, escritora estadunidense vencedora do Prêmio Pulitzer de 2000 e que vive em Nova Iorque. Ela é especializada em não ficção e biografias) conta essa fascinante história. Stacy Schiff faz uma detalhada pesquisa para tentar separar as lendas dos fatos e contar uma história muito sedutora. Fica aqui nossa dica de leitura.

terça-feira, 13 de junho de 2017

Integral usando o método de Romberg e Simpson


Algum conhecimento de integração numérica é necessário para esta postagem, sugerimos a esta leitura aqui antes de continuar.

Em alguma situações desejamos calcular a integral de uma função de $a$ até $b$:
\[ \int_a^b f(x) dx = F(a) - F(b) \]
Entretanto, nem sempre é possível ou viável calcular $F(x)$ ou não conhecemos a função $f(x)$, mas temos somente um conjunto de pontos $(x_i,y_i)$. Nesses casos devemos lançar mão de métodos numéricos para calcular a integral. Um dos mais simples é a chamada regra dos trapézios:
\[ \int_a^b f(x) dx \cong \frac{h}{2}(f(a) + f(b)) + E_O(h^2)\]
sendo $h = (b-a)$ e $E_O(.)$ é o erro que é função de $h^2$ e da derivada segunda da função $f(x)$. Se dividirmos o intervalo na metade, o erro tente a ser 4 vezes menor. Vejamos um exemplo simples: qual a integral da função $x^3$ no intervalo $(0,2)$? Numericamente, usando a regra dos trapézios com passo $h=2$:
\[ I_{t2} \cong f(0) + f(2) = 8\]
que apresenta um erro considerável. Se fizermos $h=1$:
\[ I_{t1} \cong \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + f(2)) = 5\]
o erro é bastante reduzido. Podemos, aproximadamente, cancelar esse erro com a seguinte observação:
\[ 4 \times I_{t1} - I_{t2} \cong 3\int_0^2 x^3 dx \]
ou melhor:
\[ \int_0^2 x^3 dx  \cong \frac{4 \times I_{t1} - I_{t2}}{3}\]
Para os valores calculados acima:
\[ I = \frac{4 \times 5 - 8}{3} = 4\]
que é o valor exato da integral da função $x^3$ no intervalo $(0,2)$.

Em geral, o método de Romberg* utiliza a regra dos trapézios em seu algoritmo.  De forma geral, o algoritmo de Romberg usa a seguinte expressão recursiva:
\[     I_{j,k} \cong \frac{4^{k-1}I_{j+1,k-1} - I_{j,k-1}}{4^{k-1}-1}  \]
onde $I_{j,k}$ é a integral melhorada, $I_{j+1,k-1}$ e $I_{j,k-1}$ são as versões menos acuradas. A integração usando o algoritmo de Romberg exige o conhecimento da função $f(x)$, pois dados tabulados dificilmente teriam os pontos necessários para os refinamentos.

Podemos melhorar ainda mais o método de Romberg pelo uso da primeira regra de Simpson** no lugar da regra do trapézio. O esforço computacional aumenta muito pouco e o erro cai duas ordens de grandeza. A primeira regra de Simpson para o cálculo de uma integral exige 3 pontos:
\[ \int_a^b f(x) dx \cong \frac{h}{3}(f(a) + 4f(a+h) + f(a+2h)) + E_O(h^4)\]
com $a+2h = b$, $h = (b-a)/2$. Notamos que o erro cai 16 vezes quando o passo cai pela metade. Se $I_{s1}$ é uma aproximação da integral usando a primeira regra de Simpson com passo $h/2$ e $I_{s2}$ é uma aproximação da integral usando a primeira regra de Simpson com passo $h$, então:
\[ \int_a^b f(x) dx  \cong \frac{16 \times I_{s1} - I_{s2}}{15}\]
E o algoritmo de Romberg pode usar a seguinte expressão recursiva quando a primeira regra de Simpson é usada para calcular as integrais numéricas:
\[     I_{j,k} \cong \frac{16^{k-1}I_{j+1,k-1} - I_{j,k-1}}{16^{k-1}-1} \]

O código Scilab abaixo implementa o algoritmo Romberg e calcula a integral da função $f(x) = 4.5 + 4\cos(x) - 8 e^{-4x}$ no intervalo $(0,4)$. O passo inicial é $h=1$.

Código:

/////// Romberg
clear; clc; close;

function is=itsp1(xi, yi);
    h = xi(2) - xi(1);
    t = max(size(xi));
    p = ones(1,t);
    p(2:2:t) = 4;
    p(3:2:t-1) = 2;
    is = h*sum(p.*yi)/3;
endfunction

function f=fx(x)   //função
    f = 4.5 + 4*cos(x) - 8*exp(-x*4);
endfunction

function g=fxi(x)   //integral da função
    g = 4.5*x + 4*sin(x) + 2*exp(-x*4);
endfunction

xg = 0:0.001:4;
fg = fx(xg);
title('Função de teste');
plot(xg,fg); xgrid(4);
valor_teorico = fxi(4) - fxi(0);
mprintf('valor_teorico = %1.6f \n',valor_teorico);
xgi = 0:1:4;
fgi = fx(xgi);
plot([0, xgi, 4],[0, fgi, 0],'m');

MR = zeros(5,5);
h = 1;
for k=1:5
    x = 0:h:4;
    y = fx(x);
    MR(k,1) = itsp1(x,y);
    h = h/2;
end;
tol = 1e-9;
df = 1;
C = 1;
while (df>tol)&(C<6)
    C=C+1;
    k4 = 16^(C-1);
    L = 0;
    while (df>tol)&(L<6-C)
        L = L + 1;
        MR(L,C) = (k4*MR(L+1,C-1) - MR(L,C-1))/(k4-1);
        df = abs(MR(L,C) - MR(L+1,C-1));
        m_est = MR(L,C);
    end
end

for L=1:5
    mprintf('%1.6f & %1.6f & %1.6f & %1.6f & %1.6f\n',MR(L,1:5));
end

erro = m_est - valor_teorico;
mprintf('Erro = %e,  *** %1.6f',erro,valor_teorico);
 

Resultados numéricos:

valor_teorico = 12.972790

12.089847 & 12.904267 & 12.970364 & 12.972743 & 12.972789
12.853366 & 12.970106 & 12.972742 & 12.972789 & 0.000000
12.962810 & 12.972732 & 12.972789 & 0.000000 & 0.000000
12.972112 & 12.972789 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000
12.972747 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000 & 0.000000

Erro = -7.631405e-07,  *** 12.972790



* Werner Romberg (1909–2003) foi criado em Berlim. Entrou na Universidade de Heidelberg em 1928, onde estudou matemática e ciências físicas. Também estudou em Munique. Devido o nazismo, ele foi obrigado a fazer carreira fora de sua terra natal. Seus interesses incluíram o uso de computadores para computação numérica.

** Thomas Simpson nasceu em 20 de agosto de 1710 em Market Bosworth, Leicestershire, Inglaterra. Morreu em 14 maio de 1761 in Market Bosworth. Thomas recebeu pouca educação formal. Ele frequentou a escola no Market Bosworth por um tempo, mas seu primeiro trabalho foi como um tecelão. Foi autodidata em matemática. Ele trabalhou com probabilidade, mas ficou mais conhecido pelos seus trabalho sobre interpolação e integração numérica.

sábado, 10 de junho de 2017

Raízes de um polinômio - usando o comando "roots"



Um polinômio de grau $n$ possui exatamente $n$ raízes, sejam elas complexas ou reais. Se o polinômio tiver apenas coeficientes reais, as raízes complexas aparecem aos pares conjugados. Para uma equação do 2o. grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ é fácil calcular as raízes:
\[ x_r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}\] Para polinômios de maior grau, o cálculo das raízes é bem mais complicado. Para polinômios de grau $5$ ou maior, não existem fórmulas para o cálculo das raízes. Apenas métodos numéricos que podem calcular as raízes com um certo grau de precisão. O comando "roots" do Scilab ou Matlab é usado para essa finalidade. Porém, se as raízes forem repetidas, pequenas imprecisões numéricas levam a resultados curiosos, como mostra a figura acima.

Na figura desta postagem, usamos o comando roots para calcular as raízes do polinômio
\[ x^{14} + 22 x^{13} + 207 x^{12} + 1076 x^{11} + 3309 x^{10} + 5866 x^9 + 4867 x^8 - 1128 x^7 - 7389 x^6 - 11286x^5 - 10611x^4 - 972x^3 + 5103x^2 + 4374x + 6561 = 0\] Logo, quando usamos o comando roots, devemos ter em mente que os resultados são apenas aproximados, algum erro numérico é cometido, especialmente quando o polinômio tem grau elevado e várias raízes repetidas.

sábado, 3 de junho de 2017

Alguns pensamentos de Cícero - Marco Túlio Cícero (106–43 a.C)

Escultura de Cícero por Karl Sterrer, no Parlamento Austríaco. Fonte aqui.


Cícero (Marco Túlio Cícero (106–43 a.C.) em latim: Marcus Tullius Cicero) foi um político, orador, escritor e influente filósofo romano. Algumas de suas frases (fonte aqui e aqui):
  • Não basta conquistar a sabedoria, é preciso usá-la.
  • Se ao lado da biblioteca houver um jardim, nada faltará.
  • Viver sem amigos não é viver.
  • Se ao lado da biblioteca houver um jardim, nada faltará.
  • O hábito de tudo tolerar pode ser a causa de muitos erros e de muitos perigos.
  • A ignorância é a maior enfermidade do gênero humano.
  • Não há nada de tão absurdo que o hábito não torne aceitável.
  • Não há nada de tão absurdo que não saia da boca de algum filósofo.
  • Qualquer pessoa pode errar; mas ninguém que não seja tolo persiste no erro.
  • Nunca estou mais acompanhado do que quando estou sozinho.
  • Prudência é saber distinguir as coisas desejáveis das que convém evitar.
  • Justiça extrema é injustiça.
  • O primeiro dever do historiador é não trair a verdade, não calar a verdade, não ser suspeito de parcialidades ou rancores.
  • Reconhece-se o amigo certo numa situação incerta.
  • A dedicação contínua a um objetivo único consegue frequentemente superar o engenho.
  • Os homens são como os vinhos: a idade azeda os maus e apura os bons.
  • Para que possamos ser livres, somos escravos das leis.
  •  Quanto melhor é uma pessoa, mais difícil se torna suspeitar da maldade dos outros.
  • Ninguém acredita em um mentiroso, mesmo quando ele diz a verdade.
  • Dos amores humanos, o menos egoísta, o mais puro e desinteressado é o amor da amizade.
  • Paixões são como fogo: útil de inúmeras maneiras e perigoso de uma só forma - o excesso.
  • Embora seja curta a vida que nos é dada pela natureza, é eterna a memória de uma vida bem empregada.
  • Somente os idiotas se lamentam de envelhecer.
  • Não me envergonho de confessar aquilo que ignoro.
  • Nenhum dever é mais importante do que a gratidão.

quinta-feira, 1 de junho de 2017

Divulgando: V ENCONTRO INTERNACIONAL TRABALHO E PERSPECTIVA DE FORMAÇÃO DOS TRABALHADORES



V ENCONTRO INTERNACIONAL TRABALHO E PERSPECTIVA DE FORMAÇÃO DOS TRABALHADORES:
ECOS DE 1917: EDUCAÇÃO PARA EMANCIPAÇÃO HUMANA, FORMAÇÃO PARA O TRABALHO E AS LUTAS SOCIAIS
09, 10 e 11 de novembro de 2017 

A Universidade Federal do Ceará, por meio do Laboratório de Estudos do Trabalho e Qualificação Profissional – LABOR, em parceria com o Núcleo de Pesquisas em Educação Profissional - NUPEP do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - IFCE e com o Programa de Pós-Graduação em Educação Brasileira da Universidade Federal do Ceará – UFC, promove o V Encontro Internacional Trabalho e Perspectivas de Formação dos Trabalhadores, com a finalidade de contribuir com o debate em torno da escola que se tem e a que se quer nos seus diversos modos de formação ofertados à sociedade em geral e em especial aos trabalhadores. Neste sentido, a cada encontro colocam-se em pauta questões relativas à qualidade da formação, à realização pessoal e profissional do trabalhador, a sua inserção no mundo de trabalho, a relação dessas categorias com o desenvolvimento econômico, político, cultural e social do Brasil e do mundo.

​O V Encontro Internacional do LABOR dá sequência aos anteriores em suas temáticas, mas define a opção de dedicar seu foco à influência da Pedagogia desenvolvida na Rússia pós-Revolução de 1917, em especial no que concerne a formação dos trabalhadores, contextualizada no panorama geopolítico mundial atual. Entende-se que a formação da força de trabalho insere-se no mesmo contexto em que se debate o sistema escolar como um todo e, por ser um campo em disputa, todas as matizes pedagógicas devem ser levadas em consideração.

​O evento caracteriza-se como um grande momento, de nível internacional, compreendendo a realização de Conferências Magnas, Palestras, Mesas de Debates, Laçamentos de Livros e Socialização de Pesquisas em Grupos de Trabalho e Exposição de Pôsteres, voltando-se, para a difusão e debate de ideias e teorias referenciais da educação, trabalho, formação humana, desenvolvimento econômico e social.

Mais informações aqui.

quarta-feira, 31 de maio de 2017

Dica de leitura: Para Ler Romances Como Um Especialista


Ler um bom livro é, quase sempre, um grande prazer. Alguns livros só conseguimos largar depois de ler a última página. Outros parecem ser muito herméticos e com dificuldade avançamos algumas páginas por dia. Ou desistimos ainda no primeira tentativa. Ler não é tão fácil quanto aparenta ser, não é só decodificar palavras isoladas, mas juntar as ideias escritas e as que não estão escritas, mas que o autor deixou no ar.

O livro "Para ler romances como um especialista" (título original: How to Read Novels Like a Professor, tradução de  Maria José Silveira) de Thomas C. Foster (ver aqui e aqui) é, sem dúvida, divertido e muito, muito instrutivo. É praticamente um roteiro para quem pretende escrever um romance. Uma resenha do livro (fonte aqui):
Com uma visão abrangente da literatura e de suas bases de interpretação, Thomas Foster consegue passar por temas universais ofertando ao leitor chaves do entendimento da literatura ocidental. O autor focaliza obras clássicas e essenciais; trabalha com exemplos de diversos gêneros literários (romances, poemas, ficção, teatro) em uma aula divertida de decodificação de símbolos em que nem tudo é o que parece.
Da "orelha" do livro:
Com uma visão abrangente da literatura e de suas bases de interpretação, Thomas Foster visa passar por temas universais ofertando ao leitor chaves do entendimento da literatura ocidental. O autor focaliza obras clássicas e essenciais; trabalha com exemplos de diversos textos literários em uma aula de decodificação de símbolos em que nem tudo é o que parece. Para Foster, a prática da interpretação de romances é o que leva o leitor a se tornar um verdadeiro expert em reconhecer os reais significados por trás das palavras escolhidas pelos autores. Este guia mostra como pode ser gratificante descobrir as verdades escondidas.

sábado, 27 de maio de 2017

Divulgando: VII FORUM DE GESTORES DAS INSTITUIÇÕES DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA


Recebi por e-mail:

Car@s ABENGIANOS

Fechamos hoje a realização do VII Forum. Vamos discutir a Inovação na Educação em Engenharia, tema que tem sido objeto de discussões da Diretoria da ABENGE com organismos em Brasília e outros locais. Veja notícias na página da ABENGE.
A data não é a ideal, mas dependíamos do andamento de reuniões em Brasília, por isso não marcamos para maio ou junho. Realizar em agosto seria muito próximo do COBENGE 2017 (Joinville, 26 a 29 de set 2017).

Ficam todos convidados para este evento que traduz-se numa oportunidade para elaborarmos propostas de melhorias na formação em Engenharia, visando formar mais e melhores Engenheiros Inovadores e Empreendedores.

VII FORUM DE GESTORES DAS INSTITUIÇÕES DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA

INOVAÇÃO NA EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA
Novas Diretrizes para os Cursos de Engenharia

DATA:   12 de julho de 2017
LOCAL: Brasília – DF (endereço a confirmar)

PROGRAMAÇÃO:

08:30 - Credenciamento
09:00 às 12:00 – Mesa sobre Inovação na Educação em Engenharia
Participantes:
Professor Luiz Roberto Liza Curi – SESU/MEC
Professor Paulo Roberto M V Braga Barone - CNE
Representante da CNI
Moderador: Vanderli Fava de Oliveira

12:00 às 13:30 - Almoço

13:30 às 17:00
Plenária para discussão de propostas de INOVAÇÃO NA EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA visando contribuir com a elaboração de propostas de Diretrizes da ABENGE para os cursos de Engenharia.

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Vanderli Fava de Oliveira
Professor Titular da Universidade Federal de Juiz de Fora – UFJF
Faculdade de Engenharia - Engenharia de Produção
Presidente da Associação Brasileira de Educação em Engenharia - ABENGE
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