Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
$$ (D^2 + 6D + 9)y(t) = (D + 1)x(t) $$Onde as condições iniciais são $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$, e a função de entrada é $x(t) = \sin(3t)u(t)$. Nosso objetivo é encontrar o valor de $y(t)$ para $t \geq 0$. Para isso, utilizaremos a Transformada de Laplace.
1. Aplicação da Transformada de Laplace
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, e considerando as condições iniciais, obtemos a seguinte equação em termos de $s$:
$$ Y(s)(s^2 + 6s + 9) = X(s)(s + 1) $$Isolando $Y(s)$:
$$ Y(s) = \frac{s + 1}{s^2 + 6s + 9} X(s) $$2. Transformada de $x(t)$
A transformada de Laplace de $x(t) = \sin(3t)u(t)$ é:
$$ X(s) = \frac{3}{s^2 + 3^2} = \frac{3}{s^2 + 9} $$3. Substituição e Simplificação de $Y(s)$
Substituindo $X(s)$ na equação de $Y(s)$ e fatorando o denominador ($s^2 + 6s + 9 = (s + 3)^2$):
$$ Y(s) = \frac{s + 1}{(s + 3)^2} \cdot \frac{3}{s^2 + 9} $$ $$ Y(s) = \frac{3(s + 1)}{(s + 3)^2(s^2 + 9)} $$4. Decomposição por Frações Parciais
Para encontrar a transformada inversa, precisamos decompor $Y(s)$ em frações parciais da seguinte forma:
$$ Y(s) = \frac{A}{s + 3} + \frac{B}{(s + 3)^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 9} $$Resolvendo o sistema de equações para encontrar as constantes, chegamos aos seguintes valores:
- $A = \frac{1}{18}$
- $B = -\frac{1}{3}$
- $C = -\frac{1}{18}$
- $D = \frac{1}{2}$
Portanto, a expressão de $Y(s)$ se torna:
$$ Y(s) = \frac{1/18}{s + 3} - \frac{1/3}{(s + 3)^2} + \frac{-1/18 s + 1/2}{s^2 + 9} $$Para facilitar a transformada inversa, reorganizamos o último termo:
$$ Y(s) = \frac{1}{18(s + 3)} - \frac{1}{3(s + 3)^2} - \frac{1}{18}\frac{s}{s^2 + 9} + \frac{1}{2 \cdot 3}\frac{3}{s^2 + 9} $$5. Transformada Inversa de Laplace
Aplicando a transformada inversa de Laplace para cada termo, usando as propriedades conhecidas, encontramos a solução $y(t)$:
$$ y(t) = \frac{1}{18}e^{-3t} - \frac{1}{3}te^{-3t} - \frac{1}{18}\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t) $$Combinando os termos exponenciais, a solução final é:
$$ y(t) = \left(\frac{1}{18} - \frac{1}{3}t\right)e^{-3t} - \frac{1}{18}\cos(3t) + \frac{1}{6}\sin(3t), \quad \text{ para } t \geq 0 $$
Obs: a resposta está correta.
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