Método de Newton para Sistemas de Equações Não Lineares

 

O método de Newton, também conhecido como método de Newton-Raphson, é uma técnica iterativa utilizada para encontrar raízes de equações. Quando estendido para sistemas de equações não lineares, é chamado de método de Newton para sistemas ou método de Newton multivariado. Este método é utilizado para encontrar soluções aproximadas para um sistema de equações $F(x)=0$, onde $F$ é um vetor de funções não lineares e $x$ é um vetor de variáveis.

Representação do Sistema

Considere um sistema de \( n \) equações não lineares com \( n \) incógnitas:

1. \( f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 \)
2. \( f_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 \)
3. \( \vdots \)
4. \( f_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 \)

Podemos representar este sistema na forma vetorial como \( F(x) = 0 \), onde \( F = (f_1, f_2, \ldots, f_n)^T \) e \( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \).

Derivada Jacobiana

Calcule a matriz Jacobiana \( J \) do sistema, que é a matriz das derivadas parciais das funções \( f_i \) em relação às variáveis \( x_j \):

\[ J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \]

Iteração Inicial

Escolha um ponto de partida \( x^{(0)} \) como uma estimativa inicial para a solução do sistema.

Iterações Sucessivas

Para cada iteração \( k \), realize os seguintes passos:

1. Avalie a função \( F \) e a matriz Jacobiana \( J \) no ponto \( x^{(k)} \):
• \( F(x^{(k)}) \)
• \( J(x^{(k)}) \)
2. Resolva o sistema linear para encontrar a correção \( \Delta x^{(k)} \):
• \( J(x^{(k)}) \Delta x^{(k)} = -F(x^{(k)}) \)
3. Atualize a estimativa da solução:
• \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)} \)

Critério de Parada

Continue as iterações até que a solução convirja. A convergência pode ser determinada quando o vetor \( F(x^{(k)}) \) estiver suficientemente próximo de zero ou quando a mudança na solução \( \Delta x^{(k)} \) for menor que um certo limiar:

\( \| F(x^{(k)}) \| < \epsilon_1 \) ou \( \| \Delta x^{(k)} \| < \epsilon_2 \), onde \( \epsilon_1 \) e \( \epsilon_2 \) são tolerâncias pequenas definidas pelo usuário.

Observações Importantes

• A escolha da estimativa inicial \( x^{(0)} \) pode afetar significativamente a convergência do método.
• O método de Newton para sistemas requer a inversão da matriz Jacobiana ou a solução de um sistema linear a cada iteração, o que pode ser computacionalmente caro para sistemas grandes.
• O método é baseado em uma aproximação linear do sistema de equações nas proximidades do ponto atual, e por isso converge rapidamente perto da solução, mas pode ter dificuldades quando está longe dela.
• Em implementações práticas, pode-se utilizar técnicas como a fatoração LU para resolver o sistema linear de forma mais eficiente, e estratégias de globalização como a busca de linha ou o método de Newton com dogleg para melhorar a robustez da convergência.

Podemos ver um exemplo detalhado e código Scilab do Método de Newton-Raphson aqui.