Errando as contas com uma IA - resolução errada de uma EDO.

Apresentei o seguinte prompt ao Perplexity AI:

Resolva a equação diferencial: (D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t), com x(t) = u(t), y(0)=0, y'(0)=0, onde D é o operador derivada e u(t) a função degrau unitário.

 

A resposta foi:

Para resolver a equação diferencial dada, vamos seguir os passos abaixo:

## Passo 1: Escrever a Equação Diferencial
A equação diferencial é:
$$(D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)x(t)$$
com $x(t) = u(t)$, onde $u(t)$ é a função degrau unitário, e as condições iniciais são $y(0) = 0$ e $y'(0) = 0$.

## Passo 2: Substituir $x(t)$ na Equação
Substituindo $x(t) = u(t)$ na equação, temos:
$$(D^2 + 5D + 6)y(t) = (D + 1)u(t)$$

## Passo 3: Calcular a Derivada de $u(t)$
A derivada da função degrau unitário $u(t)$ é a função delta de Dirac $\delta(t)$, então:
$$Du(t) = \delta(t)$$
Portanto:
$$(D + 1)u(t) = \delta(t) + u(t)$$

## Passo 4: Resolver a Equação Homogênea
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
$$(D^2 + 5D + 6)y(t) = 0$$
A equação característica é:
$$s^2 + 5s + 6 = 0$$
Fatorando:
$$(s + 2)(s + 3) = 0$$
Portanto, as raízes são $s = -2$ e $s = -3$.

A solução geral da equação homogênea é:
$$y_h(t) = c_1e^{-2t} + c_2e^{-3t}$$

## Passo 5: Encontrar a Parte Particular
Para encontrar a parte particular $y_p(t)$, consideramos a forma da função do lado direito da equação:
$$(D + 1)u(t) = \delta(t) + u(t)$$
A parte particular pode ser encontrada considerando duas partes: uma para $\delta(t)$ e outra para $u(t)$.

### Parte Particular para $\delta(t)$
Para $\delta(t)$, a resposta é uma função impulso que, aplicada à equação, resulta em uma mudança instantânea na condição inicial. No entanto, para equações diferenciais lineares, geralmente não consideramos diretamente a resposta a $\delta(t)$ na forma de uma função particular, pois ela afeta as condições iniciais.

### Parte Particular para $u(t)$
Para $u(t)$, consideramos uma solução do tipo:
$$y_p(t) = A + Bt$$
Derivando:
$$y_p'(t) = B$$
$$y_p''(t) = 0$$
Substituindo na equação original:
$$0 + 5B + 6A = 1$$
$$0 + B + A = 0$$
Resolvendo o sistema de equações:
$$5B + 6A = 1$$
$$B + A = 0$$
Substituindo $A = -B$ na primeira equação:
$$5B + 6(-B) = 1$$
$$- B = 1$$
$$B = -1$$
$$A = 1$$
Portanto, a parte particular é:
$$y_p(t) = 1 - t$$
## Passo 6: Solução Geral
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
$$y(t) = c_1e^{-2t} + c_2e^{-3t} + 1 - t$$
## Passo 7: Aplicar Condições Iniciais
Agora, aplicamos as condições iniciais $y(0) = 0$ e $y'(0) = 0$ para encontrar $c_1$ e $c_2$.

Para $y(0) = 0$:
$$0 = c_1 + c_2 + 1$$
Para $y'(0) = 0$, primeiro derivamos $y(t)$:
$$y'(t) = -2c_1e^{-2t} - 3c_2e^{-3t} - 1$$
Em $t = 0$:
$$0 = -2c_1 - 3c_2 - 1$$
## Passo 8: Resolver o Sistema de Equações para $c_1$ e $c_2$
Agora, resolvemos o sistema de equações:
$$c_1 + c_2 = -1$$
$$-2c_1 - 3c_2 = 1$$
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando à segunda:
$$2c_1 + 2c_2 = -2$$
$$-2c_1 - 3c_2 = 1$$
Somando:
$$-c_2 = -1$$
$$c_2 = 1$$
Substituindo $c_2 = 1$ na primeira equação:
$$c_1 + 1 = -1$$
$$c_1 = -2$$
## Passo 9: Solução Final
Substituindo $c_1 = -2$ e $c_2 = 1$ na solução geral:
$$y(t) = -2e^{-2t} + e^{-3t} + 1 - t$$
Essa é a solução final da equação diferencial, considerando as condições iniciais fornecidas.

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Essa resposta está errada!  A resposta correta (para $t \geq 0$) é:

$$y(t) =\frac{1}{6} +\frac{1}{2}e^{-2t} - \frac{2}{3}e^{-3t}$$

Obs: não acredite 'cegamente' nas respostas das IAs, elas podem errar ou alucinar.