Resolvendo algumas integrais impróprias.

 

Talvez seja boom começar com uma definição do seja integral imprópria. Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente. A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b]. As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. Alguns exemplos:

$$\begin{align*}     A &= \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx \\     B &= \int_0^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} dx \\     C &= \int_0^{+\infty} e^{-x}\cos(\pi x) dx \end{align*}$$

Um exemplo simples: qual o valor de $\int_0^9 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$? Note que em x = 0 nós temos uma indeterminação. Uma solução:

Sabemos que

$$\begin{align*} A(\epsilon) &= \int_\epsilon^b \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2(\sqrt{b}-\sqrt{\epsilon}),\\ \end{align*}$$ com $\epsilon > 0$.  Então, podemos aplicar o conceito de limite:

$$\begin{align*} A(0) &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_\epsilon^9 \frac{1}{\sqrt{x}}dx \\     &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0+} 2(\sqrt{9}-\sqrt{\epsilon})\\     &= 6 \end{align*}$$

Um segundo exemplo:

 

$$\begin{align*} A &= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx\\ \end{align*}$$

Novamente, temos uma indeterminação do tipo $'1/0'$. Fazendo $u = \sin(x)$, então $du = \cos(x) dx$ e obtemos:

 

$$\begin{align*} A &= \int_0^{1} \frac{du}{\sqrt{u}}\\   &= 2\sqrt{1} = 2. \end{align*}$$

 Já a integral imprópria

$$\begin{align*} S &= \int_0^{+\infty} \frac{ \sin(\pi t)}{\pi t} dt\\ \end{align*}$$

Tem como valor $S = 1/2$. Podemos calcular o valor de $S$ numericamente "por força bruta" usando o Scilab. Código Scilab:

clc; close;
for kk=1:4
    tm = 10^kk; // quanto maior kk, melhor o resultado
    t=0:0.1:tm;
    e=1e-9; 
    t=t+e;  // evitando uma divisão por zero.
    f = sin(%pi*t)./(%pi*t);
    Af = inttrap(t,f); // regra dos trapézios
    Afs = intsplin(t,f); // usando spline
    disp([tm, Af, Afs]); // mostrando os resultados
end;
Afss = f(1:248);
for k=1:247
    Afss(k) = intsplin(t(1:k+1),f(1:k+1));
end
Afss = [0, Afss];
plot(t(1:248),f(1:248),t(1:248),Afss(1:248)); 
title('$ \sin(\pi t)/(\pi t), \int_0^t \sin(\pi t)/(\pi t) dt $');
xgrid;

 Resultados:

   10.   0.4899716   0.489891
   100.   0.4989952   0.4989896
   1000.   0.4998995   0.4999015
   10000.   0.49999   0.4999927

Gráfico: 

Um pequeno desafio: calcule o valor da integral imprópria $$\begin{align*} A = \int_{-4}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+2}} \end{align*}$$ note que a função não é definida em x = −2 ∈ [−4, 1].