Uma questão de limite

"Limite Circular I" - Escher.

O cálculo de limite é muito importante na matemática. Alguns são bem fáceis de calcular, outros podem requerer alguma astúcia. Por exemplo, o limite
\begin{equation*}
    \lim_{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{x} - \sqrt[m]{a}}
\end{equation*}   
é da forma $0/0$, ou seja, temos uma indeterminação. Essa indeterminação pode ser removida e o limite calculado pelo uso de uma estratégia adequada. Inicialmente, devemos notar que

\[ (\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = x - a \]

e de forma semelhante

\[ (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xa} + \sqrt[3]{a^2}) = x - a \]

e de forma mais geral

\[ (\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a})\underbrace{(\sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}a} + \ldots + \sqrt[n]{a^{n-1}})}_{n \text{ vezes}} = x - a\]

Logo, aplicando esse conhecimento ao limite acima

\begin{align*}
    \lim_{x \rightarrow a} & \frac{(x - a)}{(x - a)}
    \frac{\sqrt[m]{x^{m-1}} + \sqrt[m]{x^{m-2}a} + \ldots + \sqrt[m]{a^{m-1}}}
    {\sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}a} + \ldots + \sqrt[n]{a^{n-1}}} \\
    \lim_{x \rightarrow a} & \frac{\sqrt[m]{x^{m-1}} + \sqrt[m]{x^{m-2}a} + \ldots + \sqrt[m]{a^{m-1}}}
    {\sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}a} + \ldots + \sqrt[n]{a^{n-1}}} \\   
    & = \frac{\overbrace{\sqrt[m]{a^{m-1}} + \sqrt[m]{a^{m-1}} + \ldots + \sqrt[m]{a^{m-1}}}^{m \text{ vezes}}}
    {\underbrace{\sqrt[n]{a^{n-1}} + \sqrt[n]{a^{n-1}} + \ldots + \sqrt[n]{a^{n-1}}}_{n \text{ vezes}}}\\
    & = \frac{m \sqrt[m]{a^{m-1}}}{n \sqrt[n]{a^{n-1}}} = \frac{m}{n} a^{(m-1)/m - (n-1)/n}\\
    & = \frac{m}{n} a^{1/m - 1/n} = \frac{m}{n} \sqrt[mn]{a^{n-m}}
\end{align*}
Claro, existem formas mais simples e diretas de calcular esse tipo de limite. Por exemplo, sabendo que $\sqrt[p]{1+h} \cong 1 + h/p$, sendo $h$ um valor pequeno, podemos escreve o limite inicial como:
\begin{align*}
    \lim_{h \rightarrow 0} & \frac{\sqrt[n]{a+h} - \sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a+h} - \sqrt[m]{a}} \\
    \lim_{h \rightarrow 0} & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}\frac{\sqrt[n]{1+h/a} - 1}{\sqrt[m]{1+h/a} - 1} \\
    \lim_{h \rightarrow 0} & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}\frac{h/na}{h/ma} \\
    \lim_{h \rightarrow 0} & \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}\frac{m}{n} \\
    = & \frac{m}{n} \sqrt[mn]{a^{n-m}}
\end{align*}
O que é bem mais rápido de ser feito.