Resposta ao impulso: cálculo teórico e simulação usando o LTSpice.

Circuito e sua resposta ao impulso. Devido o impulso na saída, não conseguimos visualizar o sinal em detalhes.

Detalhe da resposta ao impulso:

Em sistemas lineares, saber a resposta ao impulso de um sistema é conhecer as suas principais características. No circuito acima, $x(t)$ é o sinal de entrada - impulso de tensão - $y(t)$ é a corrente de saída. Para encontramos $y(t)$ precisamos inicialmente calcular a relação entre a tensão de entrada e a corrente de saída.

Cálculo da relação entre $x(t)$ e $y(t)$.

Podemos ver esse circuito como formado por duas malhas, com a corrente $y(t)$ na primeira malha e $z(t)$ na segunda malha. Logo, podemos equacionar:

$$\begin{align}     & y(t)(R1 + R2) - R1z(t) = x(t)\\     &-R1y(t) + R1z(t) + L1\frac{dz}{dt} + \frac{1}{C1}\int{z(t)dt} = 0 \end{align}$$ Sabendo que $R1 = R2 = 2$, $L1 = 1/2$ e $C1 = 1/3$ e derivando a equação 2, podemos reescrever a equação 2 como: $$-2\frac{dy}{dt} +2\frac{dz}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2z}{dt^2} + 3z(t) = 0$$ $z(t) = 2y(t) - x(t)/2$, aplicando na expressão acima: $$-2\frac{dy}{dt} +2\frac{d(2y(t) - x(t)/2)}{dt} + \frac{1}{2}\frac{d^2(2y(t) - x(t)/2)}{dt^2} + 3(2y(t) - x(t)/2) = 0$$ Usando o operador $D$, finalmente:

$$(D2 + 2D + 6)y(t) = ((1/4)D2 + D + (3/2))x(t)$$ Logo, a resposta ao impulso será do tipo: $y(t) = h(t) = (1/4)\delta(t) + [P(D)y_n(t)]u(t)$. Onde $y_n(t)$ é a resposta natural, que pode ser calculada a partir da solução da equação característica do sistema:  $$\begin{align*}     & \lambda^2 + 2\lambda + 6 = 0\\     & \lambda = -1 \pm \sqrt{5} \end{align*}$$ Logo, $$y_n(t) = Ae^{-t}\sin(\sqrt{5}t) + Be^{-t}\cos(\sqrt{5}t)$$ e com as condições iniciais $y_n(0) = 0$ e $\dot{y}_n(0) = 1$. Então: $$y_n(t) = \frac{\sqrt{5}}{5} e^{-t}\sin(\sqrt{5}t)$$ Finalmente, encontramos que $$h(t) = (1/4)\delta(t) + [-\frac{\sqrt{5}}{10}e^{-t}\sin(\sqrt{5}t) + \frac{1}{2}e^{-t}\cos(\sqrt{5}t)]u(t)$$

Comparando com o resultado da simulação: