Matemática recreativa: quantos triângulos você vê?

Quantos triângulos você consegue contar?

Pegue um triângulo equilátero (ok, para quem não lembra: triângulo com os três lados iguais). Divida cada lado em n segmentos iguais. Quantos triângulos você consegue contar? Hum .....

Vejamos o caso mais simples: dividindo cada lado de um triângulo equilátero em dois segmentos iguais podemos contar 5 triângulos, 4 de lado 1 e um de lado 2, veja a figura acima. Notamos que existem triângulos "para cima" e "para baixo". Podemos contar também triângulos de lado 2, lado 3, e assim por diante.

Desafio: dado um triângulo com os lados divididos em n segmentos iguais, quantos triângulos podemos contar? Você consegue achar uma fórmula fechada? Segue uma tabela para ajudar:

n	Total de triângulos
1	1
2	1+3+1 = 5
3	13
4	27
5	48
6	78
7	118
8	170

Solução: tente um pouco mais primeiro! Se não conseguir, procure por SEMINÁRIOS CAEM - VOCÊ SABE CONTAR? Por MARCOS ALVES DOS SANTOS (ESTAGIÁRIO DO CAEM). Ou na página do facebook da Revista Cálculo (abril/2014). Obs: eu encontrei uma solução por um caminho totalmente diferente do seguido por Marcos Santos.