Fazendo um teste com a IA MathGPT

Prompt: Fale um pouco sobre você. Como você resolve os problemas de matemática?

Resposta:

Claro! Eu sou MathGPT, um assistente especializado em resolver problemas de matemática e ajudar no aprendizado dessa matéria.

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### Como eu resolvo problemas de matemática?

1. **Entendo o problema:** Primeiro, leio cuidadosamente o enunciado para entender o que está sendo pedido.
2. **Identifico o tipo de problema:** Reconheço se é álgebra, cálculo, geometria, estatística, etc.
3. **Planejo uma estratégia:** Escolho o método ou fórmula adequada para resolver o problema.
4. **Faço os cálculos passo a passo:** Aplico as operações matemáticas de forma clara e organizada.
5. **Explico o raciocínio:** Apresento a solução com explicações simples para que você entenda cada etapa.
6. **Verifico a resposta:** Confirmo se o resultado faz sentido e está correto.

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### Meu objetivo

Meu objetivo é ajudar você a aprender matemática, não só a obter respostas, mas a entender o processo para que você se sinta confiante para resolver problemas sozinho.
 
Vamos fazer um teste agora.

Resolução da integral

Vamos resolver a integral

∫ t sin(2t) e^-t/2 dt

Passo 1: Identificar o método

Essa integral envolve o produto de três funções: t, sin(2t) e e^-t/2. O método mais adequado é usar integração por partes.

Passo 2: Definir as funções para integração por partes

Escolhemos:

• u = t (pois sua derivada é simples)
• dv = sin(2t) e^-t/2 dt

Passo 3: Calcular v = ∫ dv = ∫ sin(2t) e^-t/2 dt

Usamos a fórmula geral para integrais do tipo ∫ e^at sin(bt) dt:

∫ e^at sin(bt) dt =
(e^at / (a² + b²)) (a sin(bt) - b cos(bt)) + C

Com a = -1/2 e b = 2, temos:

v = ∫ e^-t/2 sin(2t) dt =
(e^-t/2 / ((-1/2)² + 2²)) (-1/2 sin(2t) - 2 cos(2t)) + C

Calculando o denominador:

(-1/2)² + 2² = 1/4 + 4 = 17/4

Logo,

v = (4/17) e^-t/2 (-1/2 sin(2t) - 2 cos(2t)) = e^-t/2 (-2/17 sin(2t) - 8/17 cos(2t)) + C

Passo 4: Aplicar a fórmula da integração por partes

Como du = dt, temos:

∫ t sin(2t) e^-t/2 dt = t v - ∫ v dt

Substituindo v:

= t e^-t/2 (-2/17 sin(2t) - 8/17 cos(2t)) - ∫ e^-t/2 (-2/17 sin(2t) - 8/17 cos(2t)) dt

Passo 5: Calcular a integral restante

Separando a integral:

I = -\frac{2}{17} ∫ e^{-t/2} sin(2t) dt - \frac{8}{17} ∫ e^{-t/2} cos(2t) dt

Já calculamos ∫ e^{-t/2} sin(2t) dt. Agora calculamos ∫ e^{-t/2} cos(2t) dt usando a fórmula:

∫ e^{at} cos(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a cos(bt) + b sin(bt)) + C

Com a = -1/2 e b = 2, temos:

∫ e^{-t/2} cos(2t) dt = \frac{4}{17} e^{-t/2} (-1/2 cos(2t) + 2 sin(2t)) = e^{-t/2} (-2/17 cos(2t) + 8/17 sin(2t))

Passo 6: Substituir as integrais no I

I = -\frac{2}{17} e^{-t/2} (-2/17 sin(2t) - 8/17 cos(2t)) - \frac{8}{17} e^{-t/2} (-2/17 cos(2t) + 8/17 sin(2t)) + C

Multiplicando e agrupando termos:

I = e^{-t/2} \left( -\frac{60}{289} sin(2t) + \frac{32}{289} cos(2t) \right) + C

Passo 7: Escrever a solução final

∫ t sin(2t) e^{-t/2} dt = e^{-t/2} \left[ -\frac{2}{17} t sin(2t) - \frac{8}{17} t cos(2t) + \frac{60}{289} sin(2t) - \frac{32}{289} cos(2t) \right] + C