Um problema de probabilidade - recreação matemática

Considere a seguinte situação: dois jogadores de xadrez (A e B) amigos, mas rivais, querem jogar até que um deles obtenha 3 vitórias seguidas. O jogador A é um pouco mais forte e tem uma probabilidade de vencer de 50%, perder de 20% e 30% de empatar. Em média, quantas partidas de xadrez serão disputadas? Os empates não contam nessa contagem de partidas. Por exemplo, podemos ter a seguinte sequência em relação ao jogador A: empate, derrota, vitória, vitória, empate, vitória, ou seja, uma sequência de 6 partidas foram disputadas neste exemplo. Naturalmente, o número mínimo de jogos será igual a 3 (três vitórias seguidas ou três derrotas seguidas), o número máximo de jogos, teoricamente, pode ser "infinito" (ou melhor, "muito grande"), pois podemos ter uma grande quantidade de empates intercalados por uma ou duas vitórias (derrotas). E então? Qual o número médio de jogos até que a sequência de 3 vitórias (ou derrotas) seguidas seja alcançado? 

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Abaixo temos um código Scilab (com poucos comentários e não otimizado) que resolve esse problema.

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clc; N=180000;  // N "grande" para permitir uma boa estatística
x = rand(1,N,'u'); // Gerando números entre 0 e 1

for k=1:N
  if x(k)>0.5 then x(k)=1; end;  // vitória
  if x(k)<0 .2="" derrota="" end="" k="" p="" then="" x="">  if (x(k)>0.2)&(x(k)<0 .5="" empate="" end="" k="" nbsp="" p="" then="" x="">end;

tam=0; // tamanho da sequência
sv=0; // soma de vitórias
sd=0; // soma de derrotas
vt = []; // vetor com o tamanho das sequências

for k=1:N
  if x(k)==1 then sv=sv+1; tam=tam+1; sd = 0; end; // soma vitórias
  if x(k)==0 then sd=sd+1; tam=tam+1; sv=0; end;  // soma derrotas
  if x(k)==0.5 then tam=tam+1; end; // conta os empates
  if sv==3 then sv=0; vt=[vt, tam]; tam=0; sd=0; end; // sequência vitoriosa obitida
  if sd==3 then sd=0; vt=[vt,tam]; tam=0; sv=0; end; //sequência de derrotas obitida
end;

disp([N, sum(vt), min(vt), mean(vt), max(vt), variance(vt)]); // resultados
close; histplot(25,vt);  // gráfico do histograma (frequência)

*** Resultados:
 150000.    149997.    3.    7.9254465    56.    26.486013

Tamanho mínimo da sequência: 3 (como já esperado).
Tamanho médio das sequências: 7,925 (valor aproximado)
Tamanho máximo nessa simulação: 56
Variância do tamanho das sequências: 26,49 (aproximadamente)

* Desafio: calcular os valores teóricos para o tamanho médio e a variância!