O Sinal $y(t) = \cos(t) + \sin(3t)$ é composto pela soma de dois sinais periódicos e resulta em um sinal também periódico. Será que a soma de dois sinais periódicos sempre vai gerar um sinal também periódico? A resposta, aparentemente deveria ser 'sim', mas nem sempre isso é verdade. Vejamos um exemplo.
Análise de Periodicidade: $x(t) = \sin(t) + \cos(\pi t)$
Para determinar se o sinal $x(t) = \sin(t) + \cos(\pi t)$ é periódico, precisamos analisar os períodos de suas componentes separadamente. Um sinal que é a soma de dois ou mais sinais periódicos é periódico se, e somente se, a razão entre os períodos fundamentais de quaisquer dois componentes for um número racional (um número que pode ser escrito como uma fração $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são inteiros).
O sinal $x(t)$ é a soma de duas funções:
- $x_1(t) = \sin(t)$
- $x_2(t) = \cos(\pi t)$
Passo 1: Encontrar o Período de Cada Componente
Para uma função harmônica geral da forma $A \sin(\omega t)$ ou $A \cos(\omega t)$, o período fundamental $T$ é dado pela fórmula $T = \frac{2\pi}{\omega}$, onde $\omega$ é a frequência angular.
Período de $x_1(t) = \sin(t)$
A frequência angular é $\omega_1 = 1$. O período fundamental $T_1$ é:
\[ T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \]Período de $x_2(t) = \cos(\pi t)$
A frequência angular é $\omega_2 = \pi$. O período fundamental $T_2$ é:
\[ T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \]Passo 2: Verificar a Razão dos Períodos
Calculamos a razão entre os períodos para verificar se o resultado é um número racional:
\[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{2} = \pi \]Como $\pi$ (Pi) é um número irracional (não pode ser escrito como uma fração exata de dois inteiros), a razão dos períodos não é racional.
Conclusão
A condição necessária para que a soma de dois sinais periódicos seja periódica é que a razão de seus períodos seja racional. Visto que a razão $\frac{T_1}{T_2} = \pi$, que é irracional, concluímos que o sinal:
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