Valor Máximo da Função f(x) = x^(1/x)

Valor Máximo da Função $f(x) = x^{1/x}$ para $x > 0$

Obs: usamos o MathGPT para nos auxiliar nos cálculos.  

Para encontrar o valor máximo da função $f(x) = x^{1/x}$ onde $x > 0$, utilizamos o cálculo diferencial.

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1. Usando a Derivação Logarítmica

Como a variável $x$ está na base e no expoente, aplicamos o logaritmo natural ($\ln$) em ambos os lados da função:

Seja $y = f(x) = x^{1/x}$.

\[ \ln(y) = \ln\left(x^{1/x}\right) \]

Usando a propriedade dos logaritmos ($\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$):

\[ \ln(y) = \frac{1}{x} \cdot \ln(x) \]

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2. Derivando Implicitamente

Derivamos ambos os lados em relação a $x$. Usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do quociente no lado direito $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, onde $u = \ln(x)$ e $v = x$.

\[ \frac{d}{dx} [\ln(y)] = \frac{d}{dx} \left[ \frac{\ln(x)}{x} \right] \]

A derivada resulta em:

\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} \]

\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \]

Isolamos $\frac{dy}{dx}$ (que é $f'(x)$) e substituímos $y$ de volta:

\[ f'(x) = x^{1/x} \cdot \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right) \]

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3. Encontrando Pontos Críticos

O ponto crítico ocorre quando $f'(x) = 0$. Como $x > 0$, $x^{1/x}$ e $x^2$ são sempre positivos. Portanto, a derivada é zero quando o numerador é zero:

\[ 1 - \ln(x) = 0 \]

\[ \ln(x) = 1 \]

A solução para $x$ é:

\[ x = e \]

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4. Verificando se é um Máximo

Analisamos o sinal da derivada $f'(x)$ em torno de $x=e$. O sinal depende de $(1 - \ln(x))$:

• Se $0 < x < e$: $\ln(x) < 1$, então $1 - \ln(x) > 0$. A função está crescendo ($f'(x) > 0$).
• Se $x > e$: $\ln(x) > 1$, então $1 - \ln(x) < 0$. A função está decrescendo ($f'(x) < 0$).

Como a função muda de crescente para decrescente em $x=e$, este ponto corresponde a um valor máximo.

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5. Calculando o Valor Máximo

O valor máximo é encontrado substituindo $x=e$ na função original:

\[ f_{\text{máx}} = f(e) = e^{1/e} \]

Usando um cálculo de precisão (onde $e \approx 2.71828$):

O valor numérico aproximado é:

\[ e^{1/e} \approx 1.44466786 \]

Conclusão

O valor máximo da função $f(x) = x^{1/x}$ para $x>0$ é $\mathbf{e^{1/e}}$. 

Gráficos da função $f(x) = x^{1/x}$ (feito com o Scilab):