Solução de um circuito RLC - solução analítica e simulação.

 

Considere o circuito elétrico acima. Qual a relação (E.D.O.) entre a tensão de entrada x(t) e a tensão de saída y(t)? 

Solução analítica:

\begin{align*}
    i_{2} &= \frac{y(t)}{R2} \\
    i_L &= \frac{1}{L}\int y(t) dt \\
    x(t) &= R i_1 + v_c(t) + y(t) \\
    i_1 &= C \frac{dv_C}{dt} \\
    v_c(t) &= \frac{1}{C} \int i_1 dt \\
    i_1 &= i_2 + i_L \\
    i_1 &= \frac{y(t)}{R2} + \frac{1}{L}\int y(t) dt \\
\end{align*}
Logo,
\begin{align*}
    x(t) &= R1\left(\frac{y(t)}{R2} + \frac{1}{L}\int y(t) dt  \right) + \frac{1}{C} \int\left( \frac{y(t)}{R2} + \frac{1}{L}\int y(t) dt\right)  dt + y(t) \\
\end{align*}
Derivando duas vezes, usando o operador $D$ e organizando os termos:
\begin{align*}
    \left(D^2 \frac{R1}{R2} + D\frac{R1}{L} + D\frac{1}{CR2}  + \frac{1}{CL}\right)y(t) + D^2 y(t) &= D^2 x(t) \\
        \left(D^2\left(1+ \frac{R1}{R2}\right) + D\left(\frac{R1}{L} + \frac{1}{CR2}\right)  + \frac{1}{CL}\right)y(t) &= D^2 x(t) \\
\left(D^2\frac{R1+R2}{R2} + D\frac{CR1R2 + L}{CLR2}  + \frac{1}{CL}\right)y(t) &= D^2 x(t) \\
\end{align*}
Finalmente,
\begin{align*}
\left(D^2 + D\frac{CR1R2 + L}{CL(R1 + R2)}  + \frac{R2}{CL(R1 + R2)}\right)y(t) &= \left(\frac{R2}{R1+R2}\right)D^2 x(t) \\
\end{align*}
Para os valores $R1 = 1\Omega$, $R2 = 2\Omega$, $C = 1F$ e $L = 1H$, a equação se torna:
\begin{align*}
\left(D^2 + D  + \frac{2}{3}\right)y(t) &= \left(\frac{2}{3}\right)D^2 x(t) \\
\end{align*}
Se $x(t) = u(t)$, a solução analítica, levando em conta as condições iniciais nulas, é:
\[ y(t) = Ae^{-t/2}\cos(\omega t) + Be^{-t/2}\sin(\omega t) \text{, para } t \geq 0\]
com $A = 2/3$, $B = -(1/3)\sqrt{12/5}$ e $\omega = \sqrt{5/12}$.

Gráfico de y(t) x tempo:

 
Simulação:

 Como podemos ver, a solução analítica confere com a solução simulada.