Um pouco sobre o matemático Leonhard Paul Euler.

Leonhard Paul Euler (1707 – 1783) foi um matemático e físico suíço. Euler passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em várias áreas da matemática como o cálculo e a teoria dos grafos. Também introduziu muitas das terminologias da matemática moderna e da notação matemática, particularmente na análise matemática, assim como no conceito de função matemática. Também é reconhecido por seus trabalhos na mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria da música.

Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII e também é considerado como um dos grandes matemáticos de todos os tempos, assim como Isaac Newton, Arquimedes e Carl Friedrich Gauss. Viveu a maior parte da vida em São Petersburgo, na Rússia, e em Berlim, que na época era capital da Prússia.

Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática: "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós".

É considerado o matemático mais prolífico da história. Sua intensa contribuição à Matemática passou por praticamente por todos os ramos da Matemática. Calcula-se que suas obras reunidas (mais de 860 artigos) preencheriam de 60 a 80 volumes. Algumas de suas contribuições:

- Integrou o Cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton;

- Refinou a notação de função, usando f(x) para indicar uma função de x;

- Usou a letra sigma Σ para adição;

- Criou notação como o e, i, o símbolo 'π' para pi (3,1415926535 ...);

- Introduziu as funções transcendentais beta e gama;

- Trabalhou com Cálculos de Variações;

- Foi pioneiro em Topologia e Teoria dos Números;

- Descobriu uma relação entre o números de faces, arestas e vértices em poliedros regulares: F+V=A+2;

- Introduziu o uso de letras minúsculas, como a, b e c para os lados de um triângulo e maiúsculas para indicar os ângulos opostos;

- Introduziu as letras r, R e s para os raios dos círculos inscrito e circunscrito e o semiperímetro de um triângulo;

- Responsável pela mais bela relação matemática ($e^{j\pi} + 1 = 0$);

- e muitas outras contribuições mais técnicas.

Fonte aqui e aqui.

Obs: editor online de equações aqui.

Resolvendo algumas integrais impróprias.

 

Talvez seja boom começar com uma definição do seja integral imprópria. Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente. A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b]. As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. Alguns exemplos:

\begin{align*}
    A &= \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx \\
    B &= \int_0^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} dx \\
    C &= \int_0^{+\infty} e^{-x}\cos(\pi x) dx
\end{align*}

Um exemplo simples: qual o valor de $\int_0^9 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$? Note que em x = 0 nós temos uma indeterminação. Uma solução:

Sabemos que

\begin{align*}
A(\epsilon) &= \int_\epsilon^b \frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2(\sqrt{b}-\sqrt{\epsilon}),\\
\end{align*} com $\epsilon > 0$.  Então, podemos aplicar o conceito de limite:

\begin{align*}
A(0) &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_\epsilon^9 \frac{1}{\sqrt{x}}dx \\
    &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0+} 2(\sqrt{9}-\sqrt{\epsilon})\\
    &= 6
\end{align*}

Um segundo exemplo:

 \begin{align*}
A &= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}dx\\
\end{align*}

Novamente, temos uma indeterminação do tipo $'1/0'$. Fazendo $u = \sin(x)$, então $du = \cos(x) dx$ e obtemos:

 \begin{align*}
A &= \int_0^{1} \frac{du}{\sqrt{u}}\\
  &= 2\sqrt{1} = 2.
\end{align*}

 Já a integral imprópria

\begin{align*} S &= \int_0^{+\infty} \frac{ \sin(\pi t)}{\pi t} dt\\
\end{align*}

Tem como valor $S = 1/2$. Podemos calcular o valor de $S$ numericamente "por força bruta" usando o Scilab. Código Scilab:

clc; close;
for kk=1:4
    tm = 10^kk; // quanto maior kk, melhor o resultado
    t=0:0.1:tm;
    e=1e-9; 
    t=t+e;  // evitando uma divisão por zero.
    f = sin(%pi*t)./(%pi*t);
    Af = inttrap(t,f); // regra dos trapézios
    Afs = intsplin(t,f); // usando spline
    disp([tm, Af, Afs]); // mostrando os resultados
end;
Afss = f(1:248);
for k=1:247
    Afss(k) = intsplin(t(1:k+1),f(1:k+1));
end
Afss = [0, Afss];
plot(t(1:248),f(1:248),t(1:248),Afss(1:248)); 
title('$ \sin(\pi t)/(\pi t), \int_0^t \sin(\pi t)/(\pi t) dt $');
xgrid;

 Resultados:

   10.   0.4899716   0.489891
   100.   0.4989952   0.4989896
   1000.   0.4998995   0.4999015
   10000.   0.49999   0.4999927

Gráfico: 

Um pequeno desafio: calcule o valor da integral imprópria \begin{align*} A = \int_{-4}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+2}} \end{align*} note que a função não é definida em x = −2 ∈ [−4, 1].

Divulgando: Mestrado Profissional em Educação Profissional e Tecnológica prorroga período de inscrições até 9 de janeiro

O ProfEPT oferta ao todo 654 vagas, em 39 instituições associadas de todo o Brasil.

As inscrições para o ProfEPT – Mestrado Profissional em Educação Profissional e Tecnológica até o dia 9 de janeiro e o pagamento da taxa de inscrição para o dia 10 de janeiro de 2024. Este ano, são ofertadas 654 vagas, distribuídas entre 39 instituições associadas de todo o Brasil. As vagas são destinadas à ampla concorrência e aos servidores do quadro permanente ativo da Rede Federal de Educação Profissional, Científica e Tecnológica e Colégio Pedro II.

A inscrição será feita pela internet, no endereço https://profept.selecao.net.br/index/abertos/. A taxa de inscrição é de R\$ 150,00. É possível pedir a gratuidade da taxa até o dia 1° de dezembro. Têm o direito à gratuidade os candidatos que preencherem os requisitos previstos no edital, dentre os quais está ser inscrito no CadÚnico.

A seleção será feita por meio de uma prova, marcada para 25 de fevereiro. Acesse a página do edital para ver todas as informações.

O ProfEPT

O curso tem como objetivo proporcionar formação na área, visando tanto à produção de conhecimento como o desenvolvimento de produtos. Isso é feito por meio da realização de pesquisas que integrem os saberes inerentes ao mundo do trabalho e ao conhecimento sistematizado pertinentes à educação profissional, técnica e tecnológica em espaços formais ou não-formais.

São duas linhas de pesquisa: Práticas Educativas em Educação Profissional e Tecnológica (EPT) e Organização e Memórias de Espaços Pedagógicos na Educação Profissional e Tecnológica (EPT).

Acesse o Edital

Inscreva-se aqui

Em tempo: resoluções para 2024

Ano novo, hora de dar uma "calibrada" na resoluções de ano novo. E aqui estão elas:

Gestão das finanças:

Criar um orçamento mensal detalhado, identificando despesas fixas e variáveis. Estabelecer metas financeiras realistas para economizar e investir. Ler pelo menos dois livros sobre finanças pessoais e investimentos ao longo deste ano. Participar de cursos online ou workshops relacionados a educação financeira.

Gestão do Tempo:

Criar uma lista de tarefas diárias e priorizar as atividades mais importantes. Utilizar técnicas de gestão de tempo, como a Técnica Pomodoro*, para aumentar a produtividade. Menos tempo na Netflix. Definir um limite diário para o uso de redes sociais. Desativar notificações desnecessárias para evitar distrações constantes.

Tempo para Autocuidado:

Reservar tempo semanal para atividades de autocuidado (academia, por exemplo) e relaxamento. Praticar técnicas de gerenciamento do estresse, como meditação ou exercícios físicos.

Controle do Stress:

Não entrar em discussões sem sentido ou irrelevantes. Eu não preciso perder meu tempo com quem não quer aprender ou evoluir. Tentar manter o bom humor é fundamental. Procurar evitar problemas é melhor do que ter que corrigir coisas que deram errado. Pensar antes de agir. 

Avaliação Regular:

Revisar o progresso das resoluções mensalmente e fazer ajustes quando necessário. Celebrar as conquistas alcançadas ao longo do ano.

No final, devemos lembrar de manter um equilíbrio saudável entre o trabalho, os amigos (menos é mais), as finanças pessoais, o cuidado com a própria saúde física e espiritual e o tempo dedicado às atividades online. Afinal, como já ensinava Aristóteles, a virtude está no meio do caminho entre dois extremos. 

E você? Já definiu suas resoluções para 2024? Resoluções de outros anos aqui, aqui e aqui.

* Sobre a Técnica Pomodoro - ver, por exemplo, aqui. 

----------------------------

Passando alguns dias na região do Cariri - Potengi

 

Esses dias foi possível vir a Potengi para rever familiares e o meu pai que está se recuperando de uma cirurgia. Já faziam mais de 20 anos que eu não via por aqui. Deu certo conhecer Santana do Cariri. 

Um pouco de matemática: gerando padrões.

A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura. Bertrand Russell.

Usando a expressão matemática $z = e^{j\omega_1t} + e^{j\omega_2t}$, fazendo $t$ variar e plotando a parte real de $z$ contra a parte imaginária de $z$ ($z$ é uma função complexa), podemos obter muitos padrões interessantes. Por exemplo, para $z =  e^{j2t} + e^{j5t}$ obtemos:

E para $z =  e^{j4t} + e^{j7t}$ obtemos:

 É fácil perceber que quanto mais "primos entre si" forem $\omega_1$ e $\omega_2$, mais complexa (ou complicada) é imagem gerada. Se $\omega_1$ for um valor inteiro e $\omega_2$ for um valor irracional, como o número $\pi$, o padrão gerado se aproxima de um fractal e os ciclos não são repetitivos. O código Scilab usado para gerar essas figuras foi:

w=0:0.004:220; w=5*w;
z = exp(%i*w) + exp(%i*3*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
close; close; close; close; close;
plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*3.1*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3.1\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*3.14*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3.14\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*%pi*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j\pi\omega}$');

Um pouco de biologia: bacteriófagos

 

Os bacteriófagos, também conhecidos como fagos, são vírus que infectam bactérias. O termo "bacteriófago" significa literalmente "comedor de bactérias" porque eles destroem as células hospedeiras. Os bacteriófagos são onipresentes na natureza e são encontrados em praticamente todos os ambientes onde as bactérias estão presentes. Estima-se que sejam as entidades biológicas mais abundantes na Terra, com mais de $10^{31}$ fagos presentes a qualquer momento. Esse número é muito maior que toda a população humana da Terra.

Os bacteriófagos são compostos de um genoma de ácido nucleico (DNA ou RNA) que é circundado por uma capa protéica chamada capsídeo. O capsídeo protege o genoma viral contra danos e permite que o fago se ligue a um receptor específico na superfície de uma célula bacteriana. Depois que um fago se liga a uma bactéria, ele injeta seu genoma na célula bacteriana. O genoma viral então assume o controle da maquinaria da bactéria para produzir novas partículas fágicas.

Existem dois tipos principais de bacteriófagos: líticos e lisogênicos. Os fagos líticos replicam-se dentro da bactéria e depois saem da célula, matando a bactéria no processo. Os fagos lisogênicos, por outro lado, inserem seu genoma no cromossomo bacteriano e podem permanecer inativos por gerações. Quando um fago lisogênico é ativado, ele pode mudar para o ciclo lítico e produzir novas partículas fágicas.

Os bacteriófagos desempenham um papel importante no meio ambiente, controlando as populações bacterianas e influenciando a evolução bacteriana. Eles também estão sendo estudados como potenciais agentes terapêuticos para o tratamento de infecções bacterianas.

Jesus nasceu mesmo no dia 25 de dezembro?

Jesus nasceu mesmo no dia 25 de dezembro? Uma resposta simples e direta a essa pergunta é: não sabemos! O mais provável é que não. Na verdade, a Bíblia não indica exatamente quando Jesus nasceu (nem o dia ou mês ou mesmo o ano). Um outro "detalhe" é que o calendário que adotamos atualmente no mundo ocidental é uma "invenção" bem posterior* ao nascimento de Jesus, o que complica o cálculo (se fosse possível) da data de seu nascimento.

A seleção do dia 25 de dezembro para celebrar o Natal tem sido associada a uma combinação de fatores históricos e culturais. Uma influência significativa foi a adaptação de festividades pagãs relacionadas ao solstício de inverno por parte da Igreja Cristã primitiva. O solstício de inverno ocorre por volta de 21 de dezembro no hemisfério norte, e a celebração do Natal durante esse período coincidiu com práticas de festividades pagãs que já estavam estabelecidas.

Clemente de Alexandria (Atenas (?), c. 150 - Palestina, 215, escritor, teólogo e apologista cristão grego) informa que diferentes teólogos e filósofos da época acreditavam que Jesus teria nascido em datas como: 20 de maio, 21 de março, 15 de abril, 21 de abril etc. Alguns historiadores falam que o dia 25 de dezembro começou a ser especulado por meio de escritos de Sextus Julius Africanus, historiador romano do século III, que supostamente teorizou essa data como o dia do nascimento de Jesus.

Além disso, o imperador romano Constantino, no início do século IV, adotou o Cristianismo como a religião oficial do Império Romano. Ele procurou unificar as tradições religiosas e culturais do império, e a escolha da data do Natal pode ter sido influenciada por considerações políticas e sociais.

Portanto, embora o Natal seja celebrado em 25 de dezembro como o aniversário de Jesus Cristo, a data não é baseada em evidências históricas diretas do momento exato de seu nascimento. Os especialistas reconhecem a incerteza em torno da data específica e destacam que a escolha de dezembro pode ter sido moldada por uma variedade de fatores culturais e históricos.

-------------------------------

* No dia 24 de fevereiro de 1582, o Papa Gregório XIII decretou uma mudança na contagem do tempo. A alteração foi determinada por meio da bula papal chamada “Inter Gravíssimas”. O documento criou o Calendário Gregoriano, para ajustar o ano civil ao ano solar, período que a Terra leva para dar uma volta ao redor do Sol. A reforma substituiu o Calendário Juliano, que estava defasado em quase uma semana. A mudança estabeleceu uma duração mais exata para o calendário e uma base de cálculo para as festas móveis cristãs, como a Páscoa. O Calendário Gregoriano começou a valer em outubro daquele mesmo ano. Para que o ajuste fosse feito, dez dias do mês deixaram de existir: o dia quatro pulou direto para o dia 15. O novo calendário oficial foi adotado primeiro em Portugal, Espanha e Itália, até ser seguido pela maior parte do mundo.

Feliz Natal: uma breve mensagem.

 

********************************************

************************

************

O Natal de 2023 se aproxima. À luz deste Natal, quero enviar a todos vocês uma mensagem de esperança, amor, perdão e solidariedade. Este é um momento especial que transcende as fronteiras religiosas, unindo corações em um espírito de alegria, generosidade e compaixão.

A esperança brilha de modo especial nesta época do ano, como uma estrela guia que nos recorda que, mesmo nas noites mais escuras, há sempre a promessa de um novo amanhecer. Que esta esperança inspire cada um de nós a olhar para o futuro com otimismo, acreditando que, juntos, podemos construir um mundo mais justo, humano e harmonioso. Que busquemos construir pontes de amizades e não muros de isolamento.

O amor, é a essência do Natal, é a força que nos une e nos lembra da importância de demonstrar afeto e compreensão uns pelos outros. Que este amor seja a base de nossas interações, permeando nossas palavras e ações, criando laços que resistam ao teste do tempo.

O perdão, um presente precioso que podemos oferecer a nós mesmos e aos outros, é uma dádiva que libera corações e almas do peso do ressentimento. Neste Natal, convido a todos nós a praticar o perdão, deixando para trás as mágoas e abrindo espaço para a cura e a reconciliação. Que nossos corações se encham de paz e luz, permitindo-nos seguir em frente com leveza e gratidão.

A solidariedade, em especial durante esta temporada festiva, é a expressão prática do amor e da compaixão. Em um mundo que muitas vezes enfrenta desafios e adversidades, estender a mão aos necessitados é um ato de grande significado. Que possamos ser agentes de mudanças positivas e construtivas, contribuindo para aliviar o sofrimento daqueles que precisam, promovendo assim a verdadeira essência do espírito natalino.

À medida que celebramos este Natal, que possamos refletir sobre o verdadeiro significado da festividade. Que este seja um tempo de renovação espiritual, de fortalecimento dos laços familiares e de construção de pontes de compreensão entre culturas e crenças diversas.

Que cada um de nós receba a dádiva da alegria, da paz e da serenidade neste Natal. Que a luz que brilha nos corações se propague como um farol, iluminando não apenas o presente, mas também o caminho que nos aguarda no ano que se inicia.

Que a magia desta época nos inspire a sermos instrumentos de positividade, paz e amor, criando um mundo onde a esperança pode florescer e a solidariedade cresça entre as pessoas. Feliz Natal a todos!

Com todo o carinho,

Francisco José Alves de Aquino.

ProfEPT: últimas defesas de mestrado e qualificação de 2023.

 

Hoje tivemos várias defesas de mestrado e qualificação no ProfEPT - IFCE, Campus Fortaleza. Orientei duas: a defesa de mestrado de Jorge Henrique e a defesa de qualificação de Sherida Nayara. Algumas fotos desses eventos: