Um pouco de matemática: gerando padrões.

A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura. Bertrand Russell.

Usando a expressão matemática $z = e^{j\omega_1t} + e^{j\omega_2t}$, fazendo $t$ variar e plotando a parte real de $z$ contra a parte imaginária de $z$ ($z$ é uma função complexa), podemos obter muitos padrões interessantes. Por exemplo, para $z =  e^{j2t} + e^{j5t}$ obtemos:

E para $z =  e^{j4t} + e^{j7t}$ obtemos:

 É fácil perceber que quanto mais "primos entre si" forem $\omega_1$ e $\omega_2$, mais complexa (ou complicada) é imagem gerada. Se $\omega_1$ for um valor inteiro e $\omega_2$ for um valor irracional, como o número $\pi$, o padrão gerado se aproxima de um fractal e os ciclos não são repetitivos. O código Scilab usado para gerar essas figuras foi:

w=0:0.004:220; w=5*w;
z = exp(%i*w) + exp(%i*3*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
close; close; close; close; close;
plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*3.1*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3.1\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*3.14*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j3.14\omega}$');

z = exp(%i*w) + exp(%i*%pi*w);
zr = real(z);
zi = imag(z);
figure; plot(zr,zi); 
title('$ e^{j\omega} + e^{j\pi\omega}$');