Usando o MathGPT - Cálculo da Integral Definida de $x^x$ de $0$ a $1$

O ChatGPT (e outras IAs Gen.) revolucionou a geração de texto fluido e coerente, mas tropeça feio em matemática avançada: equações, demonstrações e raciocínio lógico exato. Modelos como MathGPT, projetados especificamente para matemática, superam-no por reconhecerem sintaxe precisa, manipularem símbolos e seguirem regras dedutivas sem “alucinar” resultados falsos.

Enquanto o ChatGPT é ótimo para redação criativa, resumos ou explicações conceituais, problemas que exigem cálculo simbólico ou provas rigorosas revelam suas limitações: ele pode gerar fórmulas bonitas, mas frequentemente erra passos intermediários ou ignora contraexemplos sutis. MathGPT, por outro lado, usa arquiteturas otimizadas para STEM, com treinamento em tópicos matemáticos e ferramentas integradas de álgebra computacional, garantindo precisão onde o generalista (frequentemente) falha. Sendo assim, usamos o MathGPT para resolver um problema matemático bem interessante.

A integral que buscamos resolver é:

\[ I = \int_0^1 x^x dx \]

Esta integral não tem uma solução elementar, portanto, usaremos a expansão em série infinita para calculá-la.

Passo 1: Reescrever a Função $x^x$

Utilizamos a identidade $a^b = e^{b \ln a}$ para reescrever $x^x$:

\[ x^x = e^{x \ln x} \]

Em seguida, aplicamos a série de Taylor (Maclaurin) para a função exponencial, $e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$, onde $u = x \ln x$:

\[ x^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n (\ln x)^n}{n!} \]

A integral se torna uma soma de integrais:

\[ I = \int_0^1 \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n (\ln x)^n}{n!} \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 x^n (\ln x)^n dx \]

Passo 2: Calcular a Integral do Termo Geral ($J_n$)

Focamos na integral interna: $J_n = \int_0^1 x^n (\ln x)^n dx$. Usamos a substituição $t = -\ln x$. Isso implica $x = e^{-t}$ e $dx = -e^{-t} dt$. Os limites mudam de $x=1 \to t=0$ e $x=0 \to t=\infty$.

\[ J_n = \int_{\infty}^{0} (e^{-t})^n (-t)^n (-e^{-t} dt) \]

Invertendo os limites e simplificando os sinais:

\[ J_n = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} t^n e^{-(n+1)t} dt \]

Usando a substituição final $u = (n+1)t$ (onde $t = \frac{u}{n+1}$ e $dt = \frac{du}{n+1}$), e relacionando com a Função Gamma ($\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt$):

\[ J_n = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u} du = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \Gamma(n+1) \]

Como $n$ é um inteiro não negativo, $\Gamma(n+1) = n!$.

\[ J_n = \frac{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)^{n+1}} \]

Passo 3: Substituir de Volta na Série

Substituímos $J_n$ na expressão original para $I$:

\[ I = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} J_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \frac{(-1)^{n+1} n!}{(n+1)^{n+1}} \right) \]

Cancelando $n!$:

\[ I = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \]

Mudando o índice de soma para $k = n+1$ (onde $k$ começa em $1$):

\[ I = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{k}} \]

Resultado Final

A integral é representada pela seguinte série infinita, conhecida como a Integral de Sophomore:

\[ \int_0^1 x^x dx = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^5} - \dots \]

O valor numérico aproximado desta soma é:

\[ I \approx 0.78343 \] 

 

Solução 100% numérica com o Scilab

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x=0:0.001:1;
y=x.^x;
A=inttrap(x,y);
plot(x,y,x,0*y); title('Área = '+string(A));
legend('$ \int_0^1 x^x dx$',3);