Cálculo Numérico: convolução usando o Scilab

Cálculo da convolução dos sinais $x(t) = cos(2t)$ e $h(t) = e^{-t}$

Vamos calcular a convolução entre dois sinais definidos para $t \ge 0$:

• Sinal $x(t) = \cos(2t)$, para $t \ge 0$.
• Sinal $h(t) = e^{-t}$, para $t \ge 0$.

A convolução entre dois sinais $x(t)$ e $h(t)$, denotada por $y(t) = x(t) * h(t)$, é definida pela seguinte integral:

$$ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau $$

Passo a Passo do Cálculo

1. Definição dos Sinais no Domínio da Integral

Precisamos expressar $x(\tau)$ e $h(t-\tau)$ considerando seus domínios de definição:

• $x(\tau) = \cos(2\tau)$ se $\tau \ge 0$, e $0$ caso contrário.
• $h(t-\tau) = e^{-(t-\tau)}$ se $t-\tau \ge 0$, o que implica $\tau \le t$. E $0$ caso contrário.

2. Determinando os Limites de Integração

Para que o produto $x(\tau)h(t-\tau)$ seja diferente de zero, ambas as condições devem ser satisfeitas:

• $\tau \ge 0$ (para $x(\tau)$ ser não nulo)
• $\tau \le t$ (para $h(t-\tau)$ ser não nulo)

Essas condições implicam que a integral só terá valores não nulos para $t \ge 0$. Portanto, os limites de integração para $\tau$ são de $0$ a $t$.

3. Expressão da Integral de Convolução

A integral de convolução para $t \ge 0$ se torna:

$$ y(t) = \int_{0}^{t} \cos(2\tau) e^{-(t-\tau)} d\tau $$

Para $t < 0$, a convolução é $y(t) = 0$.

4. Simplificando a Integral

Podemos fatorar o termo $e^{-t}$ para fora da integral, pois ele não depende da variável de integração $\tau$:

$$ y(t) = e^{-t} \int_{0}^{t} \cos(2\tau) e^{\tau} d\tau $$

5. Resolvendo a Integral Definida

Agora, focamos em resolver a integral: $\int_{0}^{t} \cos(2\tau) e^{\tau} d\tau$. Usaremos a fórmula geral para a integral de $e^{ax} \cos(bx)$:

$$ \int e^{ax} \cos(bx) dx = e^{ax} \left( \frac{a \cos(bx) + b \sin(bx)}{a^2 + b^2} \right) $$

Neste caso, temos $a=1$ e $b=2$. A antiderivada de $e^{\tau} \cos(2\tau)$ é:

$$ \int e^{\tau} \cos(2\tau) d\tau = e^{\tau} \left( \frac{1 \cdot \cos(2\tau) + 2 \cdot \sin(2\tau)}{1^2 + 2^2} \right) = e^{\tau} \left( \frac{\cos(2\tau) + 2 \sin(2\tau)}{5} \right) $$

Avaliamos esta antiderivada nos limites de integração de $0$ a $t$:

$$ \left[ e^{\tau} \left( \frac{\cos(2\tau) + 2 \sin(2\tau)}{5} \right) \right]_{0}^{t} $$ $$ = \left( e^{t} \left( \frac{\cos(2t) + 2 \sin(2t)}{5} \right) \right) - \left( e^{0} \left( \frac{\cos(0) + 2 \sin(0)}{5} \right) \right) $$ $$ = \frac{e^{t}}{5} (\cos(2t) + 2 \sin(2t)) - \frac{1}{5} (1 + 0) $$ $$ = \frac{e^{t}}{5} (\cos(2t) + 2 \sin(2t)) - \frac{1}{5} $$

6. Obtendo o Resultado Final

Agora, multiplicamos o resultado da integral definida por $e^{-t}$ (que tínhamos fatorado anteriormente):

$$ y(t) = e^{-t} \left[ \frac{e^{t}}{5} (\cos(2t) + 2 \sin(2t)) - \frac{1}{5} \right] $$

Distribuindo o termo $e^{-t}$:

$$ y(t) = e^{-t} \cdot \frac{e^{t}}{5} (\cos(2t) + 2 \sin(2t)) - e^{-t} \cdot \frac{1}{5} $$

Como $e^{-t} \cdot e^{t} = e^{0} = 1$, a expressão simplifica para:

$$ y(t) = \frac{1}{5} (\cos(2t) + 2 \sin(2t)) - \frac{1}{5} e^{-t} $$

Conclusão

Portanto, a convolução dos sinais $x(t) = \cos(2t)$ e $h(t) = e^{-t}$ (ambos definidos para $t \ge 0$) é dada por:

$$ y(t) = \frac{1}{5} \cos(2t) + \frac{2}{5} \sin(2t) - \frac{1}{5} e^{-t}, \quad \text{para } t \ge 0 $$

E $y(t) = 0$ para $t < 0$.

Podemos também escrever a resposta de forma mais compacta como:

$$ y(t) = \frac{1}{5} \left( \cos(2t) + 2 \sin(2t) - e^{-t} \right), \quad t \ge 0 $$

Usando o Scilab

Código Scilab:

dt = 0.01;
t=0:dt:10; tm = max(size(t));
h=exp(-t);
x = cos(2*t);
yt = (1/5)*(cos(2*t) + 2*sin(2*t) - exp(-t));
y=dt*convol(x,h);
figure;
subplot(2,2,1);
plot(t(1:tm),h(1:tm)); title('h(t)');
subplot(2,2,2);
plot(t(1:tm),x(1:tm)); title('x(t)');
subplot(2,1,2);
plot(t(1:tm),y(1:tm),t,yt);
title('y(t) = x(t)*h(t)');
legend('Conv. numérica - Scilab','Conv. teórica',4);

Resultado gráfico: