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| Probabilidade de erro de símbolo para as constelações 16-QAM e 16-PSK. Note que as constelações PSK e QAM não possuem a mesma energia na figura acima. |
Nesta postagem comparamos a taxa de erro de símbolo das constelações 16-PSK e 16-QAM. Verificamos as curvas de probabilidade de erro experimentais (simulação) e teóricas usando um código Scilab. As curvas de erros teóricas são dadas por:
\begin{equation} P_{M-PSK} \leq 2Q\left(\sin(\pi/M)\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right) \end{equation} \begin{equation} P_{M-QAM} = 4\left(1 - \frac{1}{\sqrt{M}}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right) - 4\left(1 - \frac{1}{\sqrt{M}}\right)^2 Q^2\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right) \end{equation}
O código Scilab (com poucos comentários) que compara as modulações 16-PSK e 16-QAM é:
clc; xdel(winsid()); function y=Qf(x) y = 0.5*erfc(x/sqrt(2)); endfunction function y=dpsk(x) /// demodulação 16 PSK y = 0*x; agg = 0:15; c = exp(2*%i*%pi*agg/M); tam = max(size(x)); for k=1:tam dist = abs(x(k) - c); [aa,bb] = min(dist); y(k) = c(bb); end endfunction function y=dqam(x) /// demodulação 16 QAM y = 0*x; tam = max(size(x)) for k=1:tam xr = real(x(k)); xi = imag(x(k)); if xr<(-2) then xr = -3; end; if ((-2)<xr)&(xr<0) then xr = -1; end; if ((0)<xr)&(xr<2) then xr = 1; end; if xr>(2) then xr = 3; end; if xi<(-2) then xi = -3; end; if ((-2)<xi)&(xi<0) then xi = -1; end; if ((0)<xi)&(xi<2) then xi = 1; end; if xi>(2) then xi = 3; end; y(k) = xr + %i*xi; end endfunction function y=caltaxa(x) tam = max(size(x)); y = 0; for k=1:tam if x(k)>0 then y = y + 1; end; end y = y/tam; endfunction //// curva teórica: M = 16; EsNo = 1:0.1:60; Pepsk = 2*Qf(sin(%pi/M)*sqrt(2*EsNo)); px = (1-1/sqrt(M))*Qf(sqrt(3*EsNo/(M-1))); Peqam = 4*px - 4*px.*px; snrdb = 10*log10(EsNo); subplot(2,1,1); plot(snrdb,Pepsk, snrdb, Peqam); title('Curva teórica - 16QAM e 16PSK. Taxa de erro de símbolo','fontsize',4); legend('16-PSK','16-QAM',3); aa = gca(); aa.log_flags = "nln"; //////// curva experimental: N = 15000; qx = (sign(rand(1,4*N,'n'))+1)/2; p=1; spsk = zeros(1,N); for k=1:N b = qx(p:p+3); ag = b(1) + 2*b(2) + 4*b(3) + 8*b(4); p = p + 4; spsk(k) = exp(2*%i*%pi*ag/M); end qx = sign(rand(1,N,'n')) + 2*sign(rand(1,N,'n')); qy = %i*(sign(rand(1,N,'n')) + 2*sign(rand(1,N,'n'))); sqam = qx + qy; /// Ruido: sqamn = sqam + 0.01*(rand(1,N,'n') + %i*rand(1,N,'n')); subplot(2,2,3); plot(real(sqamn),imag(sqamn),'.'); title('16-QAM'); /// Ruido: spskn = spsk + 0.01*(rand(1,N,'n') + %i*rand(1,N,'n')); subplot(2,2,4); plot(real(spskn),imag(spskn),'.'); title('16-PSK'); Esmpsk = 1; Esmqam = 10; Ap = 0.5*sqrt(2)/0.9; Aq = 0.5*sqrt(2)*sqrt(Esmqam)/0.9; vtp = []; // vetor de taxa de erro PSK vsp = []; // vetor de SNRdb vtq = []; // vetor de taxa de erro QAM vsq = []; // vetor de SNRdb janH=waitbar('Calculando, aguarde um pouco!'); for k=1:20 //// PSK: Ap = Ap*0.9; r = Ap*(rand(1,N,'n') + %i*rand(1,N,'n')); vr = variance(r); snrp = 10*log10(Esmpsk/vr); snpsk = spsk + r; sd = dpsk(snpsk); erros = abs(sd-spsk); taxap = caltaxa(erros); disp([taxap,snrp]); vtp = [vtp, taxap]; vsp = [vsp, snrp]; /// QAM: Aq = Aq*0.9; r = Aq*(rand(1,N,'n') + %i*rand(1,N,'n')); vr = variance(r); snrq = 10*log10(Esmqam/vr); sn = sqam + r; sd = dqam(sn); erros = abs(sd-sqam); taxaq = caltaxa(erros); disp([taxaq,snrq]); vtq = [vtq, taxaq]; vsq = [vsq, snrq]; vez = k/20; waitbar(vez,'Ainda calculando ...',janH); end; close(janH); figure; ff = gcf(); plot(snrdb,Pepsk,snrdb,Peqam,vsp,vtp,'r-*',vsq,vtq,'m->'); title('Curvas teórica e experimental - 16PSK. Taxa de erro de símbolo',... 'fontsize',4); ff.background = 8; aa = gca(); aa.log_flags = "nln"; aa.background = 8; legend('Curva teórica 16PSK','Curva teórica 16QAM','Pontos experimentais PSK','Pontos experimentais QAM',3); bb = aa.children; bb(1).font_size = 3; xgrid();
Que gera o seguintes gráfico:
