Calculando e simulado um circuito elétrico simples

Problema. Analise o sistema abaixo. Considere, se necessário, que o capacitor e o indutor estão sem energia para t < 0 e que a chave fecha em t = 0s. Calcule a tensão de saída y(t) sobre o indutor.

 Solução.

Sabendo que a corrente em capacitor pode ser expressa por

e que a corrente em um indutor pode ser escrita como 

e aplicando a lei dos nós podemos escrever:

Aplicando a derivada, substituindo os valores de R, C e L e após algumas manipulações obtemos:

A equação característica é então:

cujas raízes são

Logo, a solução será do tipo:

Um ponto crucial é determinar as condições iniciais. Para t = 0⁺, y(t) = 0, pois o capacitor não permite que a tensão varie instantaneamente. Para t → ∞, y(t) = 0, pois depois do transitório a corrente será constante e igual a 5 A, logo K_Φ será zero. E dy(t)/dt, em t = 0⁺, pode ser calculada por:

Logo, é fácil verificar que A = 0 e

Finalmente, a solução é:

Essa solução pode ser verificada se usarmos um software de simulação de circuitos eletrônicos, como, por exemplo, o Pspice (link aqui para baixar a versão estudante). No circuito abaixo, a fonte de pulso substitui a fonte CC mais a chave do problema.

Resultado da simulação (trasitório):

Escolha dos parâmetros de simulação.

Resultado da simulação.

Usando o Scilab para desenhar a resposta:

t=0:0.01:12;
B=4*sqrt(15)/3; 
w=sqrt(15)/4; 
y=exp(-t/4)*B.*sin(w*t);
plot(t,y); xgrid; ylabel('Tensão no indutor');
xlabel('tempo (s)'); 
title('Circuito RLC');