Solução de alguns problemas de cálculo numérico.

“Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, e não é o domínio, mas o ato de chegar lá que dá o maior prazer.” -- Karl Friedrich Gauss

1. Um estudante usou o valor de $\pi$ igual a 3,14. Qual o erro relativo que ele cometeu? 

Solução: 

\[  Er = \frac{|3,14-\pi|}{\pi} = 0.0005070 \]

2. Em relação à questão anterior, o estudante deveria usar quantas casas decimais para que o erro relativo fosse menor que $10^{-5}$? 

\[  Er =  \frac{|3,14159-\pi|}{\pi} = 0.0000008  \] 

Logo, devem ser usadas 5 casas decimais.

3. O número de Euler $(e = 2,718281828459045 ...)$ pode ser aproximado pela fração $\frac{193}{71}$. Quais os erros relativo e absoluto neste caso? Encontre uma fração $(\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ são inteiros e $q < 600)$. 
\[  Ea =  |193/71-e| = 0.0000280\text{; }  Er =  Ea/e = 0.0000103\] 

Melhor fração: $$e\cong \frac{1457}{536} $$

4. Considere a seguinte função:
\[ f(x) = \frac{x^3 + 2x + 15}{x^2 + 1}\]
Essa função tem exatamente um zero real. Usando o método de sua escolha, encontre esse zero. 

Solução:

Sabemos que $f(-3) < 0$ e $f(-2) > 0$, logo podemos escolher $x_0 = -2.5$. Método de Newton: 

\[ x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^3 + 2x_k + 15}{3x_k^2+2}\]

Valores obtidos:

$x_1 =  -2.2289157$
$x_2 =  -2.1974898$
$x_3 =  -2.1970911$

Resultado: raiz = $-2.1970911$.

5. Usando um método iterativo, resolva o seguinte sistema de equações: 
$$
\left\{
\begin{alignedat}{5}
6x & + {} & 3y & + {} & z  & + {} & 0w & = 15 \\
2x & + {} & 5y & + {} & 2z & + {} & 0w & = 12 \\
0x & + {} & y  & + {} & 6z & + {} & w  & = 10 \\
0x & + {} & y  & + {} & 2z & + {} & 4w & = 8
\end{alignedat}
\right.
$$
Solução:

xi=[0;0;0;0];
er=1;
while er>1e-4;
    xa = xi;
    xi(1) = (15-3*xi(2)-xi(3))/6;
    xi(2) = (12-2*xi(1)-2*xi(3))/5;
    xi(3) = (10-xi(2)-xi(4))/6;
    xi(4) = (8-xi(2)-2*xi(3))/4;
    er = xa-xi;
    er = er'*er;
end
disp(xi);

   $x = 1.6828903$
   $y = 1.2100176$
   $z = 1.2894830$
   $w = 1.0527541$

6. Considere o seguinte sistema não linear:
\begin{align*}
    2e^x + e^y &= 29\\
    \sqrt{x} + y^2 &= 10
\end{align*}
Sabendo que $1 < x < y < 4$, use o método de sua preferência para calcular $x$ e $y$. 

Solução iterativa:

Escolhendo: $x_0 = 1.5$ e $y_0 = 2.5$ e

\begin{align*}
    x_{k+1} &= \log((29-e^{y_k})/2)\\
     y_{k+1}&= \sqrt{10 - \sqrt{x_{k+1}}}
\end{align*}

Valores obtidos: 

 1.   2.1292732   2.9224642
 2.   1.6499046   2.9522049
 3.   1.5945144   2.9558855
 4.   1.5873218   2.9563678
 5.   1.5863735   2.9564314
 6.   1.5862483   2.9564398
 7.   1.5862317   2.9564409
 8.   1.5862295   2.9564411

Logo, $x =  1.5862295$ e $y =  2.9564411$.