Problema. Qual a corrente elétrica no resistor R1 do circuito acima? Considerar a fonte de tensão V1 como sendo uma fonte constante igual a 12 volts. Considere ainda que a chave está aberta a muito tempo e fecha em t = 0 s.
Solução.
No nó formado pelos resistores R1, R2 e o indutor, podemos equacionar:
\[ \frac{V1 - V}{R1} = \frac{V}{R2} + I_x \]
onde $V$ é a tensão sobre R2 e $I_x$ a corrente que passa no indutor e no capacitor. Podemos relacionar $I_x$ e $V$ por:
\[ V_L + V_C = V \]
\[ L\frac{dI_x}{dt} + \frac{1}{C}\int I_x dt = V \]
Usando o operador $D$:
\[ (LD^2 + \frac{1}{C})I_x = DV \]
Logo,
\[ I_x = \frac{1}{L}\frac{DV}{D^2 + 1/LC} \]
Substituindo na primeira equação:
\[ \frac{V1}{R1} = \frac{V}{R1} + \frac{V}{R2} + \frac{1}{L}\frac{DV}{D^2 + 1/LC} \]
Reorganizando e efetuando algumas operações obtemos:
\[ \frac{LV}{Re}(D^2 + 1/LC) + DV = L\frac{V1(D^2 + 1/LC)}{R1} \]
onde $Re = R1R2/(R1+R2) = 9/4$, finalmente:
\[ (D^2 + \frac{Re}{L}D + 1/LC) V = \frac{Re}{R1}(D^2 + 1/LC)V1 \]
Substituindo os valores:
\[ (D^2 + \frac{9}{2}D + 4) V = \frac{3}{4}(D^2 + 4)V1 \]
A solução da equação acima é do tipo:
\[ V(t) = V_{\phi} + Ae^{\lambda_1t} + Be^{\lambda_2t}\]
onde $\lambda_1 = -9/4 - \sqrt{17}/4 = -3,2807764$ e $\lambda_2 = -9/4 + \sqrt{17}/4 = -1,2192236$ e $V_{\phi} = 9$. Sendo $V1$ uma tensão constante, o valor inicial $V(0)$ é igual a 9 volts. O valor final de $V(t)$ é também 9 volts. A derivada de $V(t)$ no instante zero é:
\[ \frac{dV(0)}{dt} = -\frac{Re}{L}V(0) = -\frac{81}{2}\]
Aplicando as condições iniciais: $V(0) = 9 = 9 + A + B$, logo $A = - B$; e $-3,2807764A - -1,2192236B = -81/2$. Logo, $V(t)$ pode ser expresso como
\[ V(t) = 9 + 19.645386(e^{ -3,2807764t} - e^{ -1,2192236t}) \]
Finalmente, a corrente no resistor R1 é:
\[ I_{R1} = (3 - 19.645386(e^{ -3,2807764t} - e^{ -1,2192236t}))/3 \]
Logo, a corrente em R1 depois do transitório é 1A. Gráficos:
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