Resolvendo analiticamente um circuito elétrico

Problema. Qual a corrente elétrica no resistor R1 do circuito acima? Considerar a fonte de tensão V1 como sendo uma fonte constante igual a 12 volts. Considere ainda que a chave está aberta a muito tempo e fecha em t = 0 s.

Solução.

No nó formado pelos resistores R1, R2 e o indutor, podemos equacionar:

$$\frac{V1 - V}{R1} = \frac{V}{R2} + I_x$$

onde $V$ é a tensão sobre R2 e $I_x$ a corrente que passa no indutor e no capacitor.  Podemos relacionar $I_x$ e $V$ por:

$$V_L + V_C = V$$

$$L\frac{dI_x}{dt} + \frac{1}{C}\int I_x dt = V$$

Usando o operador $D$:

$$(LD^2 + \frac{1}{C})I_x = DV$$  

Logo,

$$I_x = \frac{1}{L}\frac{DV}{D^2 + 1/LC}$$

Substituindo na primeira equação:

$$\frac{V1}{R1} = \frac{V}{R1} + \frac{V}{R2} + \frac{1}{L}\frac{DV}{D^2 + 1/LC}$$

Reorganizando e efetuando algumas operações obtemos:

 

$$\frac{LV}{Re}(D^2 + 1/LC) + DV  = L\frac{V1(D^2 + 1/LC)}{R1}$$

onde $Re = R1R2/(R1+R2) = 9/4$, finalmente:

 

$$(D^2 + \frac{Re}{L}D + 1/LC) V = \frac{Re}{R1}(D^2 + 1/LC)V1$$

Substituindo os valores:

 

$$(D^2 + \frac{9}{2}D + 4) V = \frac{3}{4}(D^2 + 4)V1$$

A solução da equação acima é do tipo:

$$V(t) = V_{\phi} + Ae^{\lambda_1t} + Be^{\lambda_2t}$$  

onde $\lambda_1 = -9/4 - \sqrt{17}/4 = -3,2807764$ e $\lambda_2 = -9/4 + \sqrt{17}/4 = -1,2192236$ e $V_{\phi} = 9$. Sendo $V1$ uma tensão constante, o valor inicial $V(0)$ é igual a 9 volts. O valor final de $V(t)$ é também 9 volts. A derivada de $V(t)$ no instante zero é:

$$\frac{dV(0)}{dt} = -\frac{Re}{L}V(0) = -\frac{81}{2}$$  

Aplicando as condições iniciais: $V(0) = 9 = 9 + A + B$, logo $A = - B$; e  $-3,2807764A - -1,2192236B = -81/2$. Logo, $V(t)$ pode ser expresso como

$$V(t) = 9 + 19.645386(e^{ -3,2807764t} - e^{ -1,2192236t})$$  

Finalmente, a corrente no resistor R1 é:

$$I_{R1} = (3 - 19.645386(e^{ -3,2807764t} - e^{ -1,2192236t}))/3$$  

Logo, a corrente em R1 depois do transitório é 1A. Gráficos: