Evitando integração por partes - uma alternativa.

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Seja um sinal definido pelo produto de duas funções: $f(t) = u(t)v(t)$. A derivada desse sinal (supondo que $u(t)$ e $v(t)$ são funções diferenciáveis) é dada por (regra da cadeia):
\[ \frac{df(t)}{dt} = \frac{du(t)}{dt}v(t) + u(t)\frac{dv(t)}{dt}\]
Logo, podemos dizer que
\[ \int \frac{du(t)}{dt}v(t) dt = u(t)v(t) - \int u(t)\frac{dv(t)}{dt} dt\]
considerando que a segunda integral seja mais fácil de resolver que a primeira, esta é a técnica de integração por partes. Usando uma notação mais simples e compacta:
\[ \int v du = uv - \int u dv\]
Para saber mais sobre o assunto ver aqui , aqui ou aqui.

Bom, eu não gosto muito de integração por partes. Existem alternativas? Sim, claro (ver aqui, por exemplo - método DI). Uma forma alternativa de resolver esse tipo de integral, quando $v(t)$ e $u(t)$ são funções polinomiais (ex: $u(t) = t^{n}$) e exponenciais (ex: $v(t) = e^{kt}$) ou trigonométricas (ex: $v(t) = cos(kt)$), é saber que o resultado será uma combinação dos produtos de $u(t)$ e suas derivadas com $v(t)$ e suas derivadas.

Assim, sendo $g(t)$ e $h(t)$ funções polinomiais, exponenciais ou trigonométricas (seno e cosseno):
\[ \int g(t)h(t) dt = A_1g(t)h(t) + A_2 \frac{dg}{dt} h + A_3 \frac{d^2g}{dt^2}h + ... + B_1 \frac{dh}{dt}g + B_3 \frac{d^2h}{dt^2}g + ...\]

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Um exemplo para esclarecer melhor:
\[ \int t^{2} e^{3t} dt = f(t) = A t^{2} e^{3t} + B t e^{3t} + C e^{3t}\]
onde as constantes $A$, $B$ e $C$ podem ser calculadas pela solução de um simples sistema linear de equações:
\[ \frac{df}{dt} = 3 A t^2 e^{3t} + 3 B t e^{3t} + 3 C e^{3t} + 2 A t e^{3t} + B e^{3t} = t^{2} e^{3t}\]
Logo
\[
\begin{cases}
 & 3A = 1  \\
 & 2A + 3B = 0 \\
 & B + 3C = 0
\end{cases}
\]
Assim: $A = 1/3$, $B = -2/9$ e $C = 2/27$. Finalmente,
\[ \int t^{2} e^{3t} dt = \frac{1}{3} t^{2} e^{3t} - \frac{2}{9} t e^{3t} + \frac{2}{27} e^{3t}\]

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Um segundo exemplo:
\[ \int t cos(3t) dt = f(t) = A t cos(3t) + B cos(3t) + C t sen(3t) + D sen(3t)\]
onde as constantes $A$, $B$, $C$ e $D$ podem ser calculadas pela solução de um simples sistema linear de equações:
\[ \frac{df}{dt} = A cos(3t) - 3 A t sen(3t) - 3 B sen(3t) + 3 C t cos(3t) + C sen(3t) + 3 D cos(3t) =  t cos(3t)\]
Logo
\[
\begin{cases}
 & A + 3D = 0  \\
 & -3A = 0 \\
 & 3C = 1 \\
 & -3B + C = 0
\end{cases}
\]
Assim: $A = 0$, $B = 1/9$ e $C = 1/3$, $D = 0$. Finalmente,
\[ \int t cos(3t) dt = \frac{1}{9} cos(3t) + \frac{1}{3} t sen(3t)\]

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Nada como um pouco de matemática para relaxar!