Fractal Collatz, figura original aqui. |
- escolha um número natural maior que zero;
- se for um número par, divida-o por dois; se for um número ímpar, multiplique por três e some um;
- volte ao passo 2.
(a) Vai crescer indefinidamente, pois, em média, os números irão crescer a uma taxa 3/2.
(b) Os valores, eventualmente, cairão na sequência 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
(c) Para alguns valores iniciais, o valor final é "infinito", para outros não.
(d) Nenhuma das respostas anteriores.
Ficou na dúvida? Faça um teste, por exemplo, para n = 12. O que acontece? Se você teve paciência suficiente, chegou à conclusão que a resposta correta é o item "b". Pois essa é uma conclusão "precipitada". Ainda não foi rigorosamente provado que, para qualquer número natural, a sequência final será 1, 4, 2, 1, ... Esta é Conjectura de Collatz (ou de Ulam, ou de Thwaites) ou Problema 3n+1 que está em aberto desde 1937. Um problema que pode ser ensinado a uma criança, mas que ainda não foi resolvido. Como Erdos comentou "a matemática ainda não está pronta para este tipo de problema". De qualquer forma, a matemática pode ser bem divertida!
Alguns resultados numéricos:
A sequência pode varia muito de um número inicial para outro, algumas são curtas outras são bem mais longas. |
Valor inicial x tamanho da sequência - grande variação. |
Código Scilab:
close; close; close; clc; p=1; vtam = []; for x=5:5:60 v = []; k = 1; xk = x+7; while xk>1 v = [v, xk]; k = k + 1; if pmodulo(xk,2) == 0 then xk = xk/2; else xk = xk*3+1; end end subplot(2,2,p); plot(v); title('x0 = '+string(x+7)); p=p+1; vtam = [max(v), vtam] if p>4 then figure; p=1; end end xk=5:5:60; xk=xk+7; figure; plot2d3(xk,vtam);
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Para saber mais:
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