Alguns problemas de sistemas lineares

Seja o sinal $x(t) = e^{-|t|}cos(t)$ (ver gráfico acima), qual a sua energia $E_X$? 

Solução. Este sinal está definido em todo o intervalo $-\infty < t < \infty$, logo:

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} (x(t))^2 dt$$

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} (e^{-|t|}cos(t))^2 dt$$

$$E_x = 2 \int_{0}^{+\infty} e^{-2t}cos^2(t) dt$$

$$E_x = 2\frac{e^{-2t}(\sin(2t) - cos(2t) - 2)}{8}  |_{0}^{\infty}$$

$$E_x = \frac{3}{4}$$

Usando o Scilab:

t=-100:0.01:100;
x = exp(-abs(t)).*cos(t);
x2 = x.*x;
Ex = inttrap(t,x2);
disp(Ex);

Resposta Scilab: 0.7500333, um erro numérico pequeno.

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Seja $z(t) = z_{par}(t) + z_{impar}(t)$. Podemos escrever:

$$z^2(t) = z_{par}^2(t) + z_{impar}^2(t) + 2z_{par}(t) z_{impar}(t)$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} z^2(t)  dt = \int_{-\infty}^{+\infty} z_{par}^2(t) dt + \int_{-\infty}^{+\infty}z_{impar}^2(t) dt  + 2\int_{-\infty}^{+\infty}z_{par}(t) z_{impar}(t) dt$$ , logo

$$E_z = E_{z-par} + E_{z-impar}$$ , pois

$$\int_{-\infty}^{+\infty}z_{par}(t) z_{impar}(t) dt = 0$$

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