Constantes "fracionárias": constantes na forma (aproximada) de uma fração

Figura: original e fonte aqui.

Uma quantidade fixa, definida por um problema ou equação, é uma constante. Do dicionário:

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cons.tan.te (adjetivo de dois gêneros). Definições e sinônimos: 1. Que tem constância. 2. Firme. 3. Persistente. 4. Contínuo. 5. Que é sabido de todos; que consta. 6. [Matemática] Cujo valor é invariável.
fonte aqui: in Dicionário Priberam da Língua Portuguesa [em linha], 2008-2013 [consultado em 25-10-2016].

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Algumas dessas constantes são muito famosas e conhecidas por todos que tiveram alguma educação formal, como, por exemplo, o $\pi$. Muitas dessas constantes não possuem um valor inteiro, mas são números irracionais (possuem uma quantidade infinita de casas decimais que não se repetem).

Entretanto, pode ser útil "compactar" essas constantes irracionais na forma (aproximada) de uma fração. Por exemplo, Arquimedes conseguiu mostrar que 223/71 < $\pi$ < 22/7. Segue algumas dessas constantes e seus valores na forma de fração:

Para uma lista mais completa dessas constantes (matemáticas e físicas) ver aqui. Segue o código Scilab (sem comentários ...) que auxiliou na obtenção destas frações:

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clc; clear;
const = (1+sqrt(5))/2; //0.57721566490153286060651209008240243;
//sqrt(2)/2; //%pi; //exp(1);

nn=1;
num=1;

nnc=(nn*const);
den=round(nnc);
df = abs(nnc-den);
dfmin = 1;

while den<9900
    nnc=(nn*const);
    den=round(nnc);
    num = round(den*const);
    cx = num/den;
    df = abs(const - cx);
    if df < dfmin then 
        errop = 100*(const-cx)/const;
        disp([nn,num,den,const, cx,errop]);
        dfmin = df;
    end;
    if nn>79900 then num = 95001; end;
    nn = nn + 1;
end