“Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, e não é o domínio, mas o ato de chegar lá que dá o maior prazer.” -- Karl Friedrich Gauss
1. Um estudante usou o valor de $\pi$ igual a 3,14. Qual o erro relativo que ele cometeu?
Solução:
\[ Er = \frac{|3,14-\pi|}{\pi} = 0.0005070 \]
2. Em relação à questão anterior, o estudante deveria usar quantas casas decimais para que o erro relativo fosse menor que $10^{-5}$?
\[ Er = \frac{|3,14159-\pi|}{\pi} = 0.0000008 \]
Logo, devem ser usadas 5 casas decimais.
3. O número de Euler $(e = 2,718281828459045 ...)$ pode ser aproximado pela fração $\frac{193}{71}$. Quais os erros relativo e absoluto neste caso? Encontre uma fração $(\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ são inteiros e $q < 600)$.
\[ Ea = |193/71-e| = 0.0000280\text{; } Er = Ea/e = 0.0000103\]
Melhor fração: $$e\cong \frac{1457}{536} $$
4. Considere a seguinte função:
\[ f(x) = \frac{x^3 + 2x + 15}{x^2 + 1}\]
Essa função tem exatamente um zero real. Usando o método de sua escolha, encontre esse zero.
Solução:
Sabemos que $f(-3) < 0$ e $f(-2) > 0$, logo podemos escolher $x_0 = -2.5$. Método de Newton:
\[ x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^3 + 2x_k + 15}{3x_k^2+2}\]
Valores obtidos:
$x_1 = -2.2289157$
$x_2 = -2.1974898$
$x_3 = -2.1970911$
Resultado: raiz = $-2.1970911$.
5. Usando um método iterativo, resolva o seguinte sistema de equações:
$$
\left\{
\begin{alignedat}{5}
6x & + {} & 3y & + {} & z & + {} & 0w & = 15 \\
2x & + {} & 5y & + {} & 2z & + {} & 0w & = 12 \\
0x & + {} & y & + {} & 6z & + {} & w & = 10 \\
0x & + {} & y & + {} & 2z & + {} & 4w & = 8
\end{alignedat}
\right.
$$
Solução:
xi=[0;0;0;0];
er=1;
while er>1e-4;
xa = xi;
xi(1) = (15-3*xi(2)-xi(3))/6;
xi(2) = (12-2*xi(1)-2*xi(3))/5;
xi(3) = (10-xi(2)-xi(4))/6;
xi(4) = (8-xi(2)-2*xi(3))/4;
er = xa-xi;
er = er'*er;
end
disp(xi); $x = 1.6828903$
$y = 1.2100176$
$z = 1.2894830$
$w = 1.0527541$
6. Considere o seguinte sistema não linear:
\begin{align*}
2e^x + e^y &= 29\\
\sqrt{x} + y^2 &= 10
\end{align*}
Sabendo que $1 < x < y < 4$, use o método de sua preferência para calcular $x$ e $y$.
Solução iterativa:
Escolhendo: $x_0 = 1.5$ e $y_0 = 2.5$ e
\begin{align*}
x_{k+1} &= \log((29-e^{y_k})/2)\\
y_{k+1}&= \sqrt{10 - \sqrt{x_{k+1}}}
\end{align*}
Valores obtidos:
1. 2.1292732 2.9224642
2. 1.6499046 2.9522049
3. 1.5945144 2.9558855
4. 1.5873218 2.9563678
5. 1.5863735 2.9564314
6. 1.5862483 2.9564398
7. 1.5862317 2.9564409
8. 1.5862295 2.9564411


